Комбинаторная задача, не нравится результат.

[GrishinUS]

Здравствуйте,

вот такая задачка попалась:

Имеется 20 работников и 4 группы $G_1, G_2, G_3, G_4$. Число рабочих мест в группах такое:
$G_1$ 4 места;
$G_2$ 5 мест;
$G_3$ 6 мест;
$G_4$ 5 мест;

Всего 20, что совпадает с числом работников.
4 работника из 20 принадлежат к определенной этнической группе.
Найти вероятность того, что каждый работник этнической группы попадет в разную группу, т.е. в группах $G_1, G_2, G_3, G_4$ будет точно по одному работнику этнической группы.

$A:$ в каждой группе $G_1, G_2, G_3, G_4$ ровно по одному работнику этнической группы.

Как решал: нашел общее количество перестановок $20!$ из них вычел "внутригрупные", т.к. порядок в котором работники будут "расположены" внутри группы не важен.
$n(S)=20!-5!5!6!4!$

Теперь с количеством событий, благоприятсвующему событию $A$. Самих работников этнической группы можно разместить $4!$ различными способами между группами. При этом оставшиеся места заполнятся $(n-1)!$ способами, где $n$ - число мест в рабочей группе. То есть:

$n(A)=4!(4!4!3!5!)$

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4!(4!4!3!5!)}{20!-5!5!6!4!}=\frac{1}{244432187975}$

Что-то совсем мало получилось.

Спасибо.

[Shadow]

Заполняйте группы последовательно, начиная с G1, выбирая случайно работников. Какова вероятность, что в ней будет ровно один из этнической группе?

[GrishinUS]

Цитата:

Заполняйте группы последовательно, начиная с G1, выбирая случайно работников. Какова вероятность, что в ней будет ровно один из этнической группе?

Вероятность того, что в группе $G_1$ будет ровно один работник этнической группы:
$\frac{C_{1}^4}{C_{4}^{20}}=\frac{4}{4845}$

Дальше останется 3 работника этнической группы и 13 "обычных" (всего 16), вероятность того, что что в группу $G_2$ попадет 1 нужный:
$\frac{C_{1}^3}{C_{5}^{16}}=\frac{1}{1456}$

и т.д. для двух оставшихся групп. Потом вероятности перемножаем и получается что нужно. Правильно?

[Shadow]

GrishinUS в сообщении #486142 писал(а):

Вероятность того, что в группе $G_1$ будет ровно один работник этнической группы:
$\frac{C_{1}^4}{C_{4}^{20}}=\frac{4}{4845}$

Мало. Еще одно C в числителе есть.
Но и попроще можно. Все возможные комбинации Вы сказали $C_{20}^{4}$
А благоприятные?

[GrishinUS]

Благоприятные

$C_{1}^{4}C_{3}^{16}$

[GrishinUS]

Вопрос такой:

в задачах таких как эта получается что
$\frac{C_a^bC_c^d}{C_e^f}$
$a+c=e$ и $b+d=f$

в других такого не наблюдается, отчего это зависит?

[Doil-byle]

Я предлагаю так: количество таких разбиений равно $ \frac{20!}{4!5!6!5!} $ (полиномиальный коэффициент) - это количество всех исходов. Количество благоприятных исходов равно 4!, следовательно $ p= \frac{4!}{\frac{20!}{4!5!6!5!}} $

[GrishinUS]

Doil-byle

Здорово, только опять "фиг-десятых" получается
$\frac{1}{407386980}$

У меня получилось

$\frac{C_1^4C_3^{16}}{C_4^{20}}\frac{C_1^3C_4^{13}}{C_5^{16}}\frac{C_1^2C_4^{9}}{C_5^{11}}\frac{C_1^1C_5^{5}}{C_6^{6}}=\frac{40}{323}\approx0.123839009 (\pm 0.01\%)$

Субъективно, примерно так и должно быть.

[Shadow]

Так оно и есть. До правильного ответо можно было дойдти и по другому. Сколькими способами можно расставить 4 черных ( ну, или 16 белых) среди 20 позиций? $C_{20}^4$. Это все исходы.
Благоприятные:
в группу G1 можно расположить одного черного 4 способами, в G2 - 5...
т.е ответ
$\frac{4.5.6.5}{C_{20}^4}$

[Doil-byle]

Тем не менее, не вижу никакой ошибки в своём способе, который, очевидно, намного проще. Кроме того, естественно в этой задаче использовать именно полимиальный коэффициент, который для того и был придуман, чтобы подсчитывать количество разбиений множества на заданные подгруппы. И да, таких разбиений обычно получается сравнительно много, даже очень. Так что, то, что вероятность такого распределения членов этнической группы КРАЙНЕ МАЛА!!! вполне нормально.

[--mS--]

Doil-byle в сообщении #486435 писал(а):

Тем не менее, не вижу никакой ошибки в своём способе, который, очевидно, намного проще.

Ошибка очевидна: в числителе Вы посчитали только $4!$ способов расставить указанных лиц в группах, без учёта способов распределить по группам остальных. Тогда как в знаменателе учтены все возможные способы распределения всех людей. Домножьте Ваш числитель на ещё один полиномиальный коэффициент $\dfrac{16!}{3!4!4!5!}$, и будет счастье.