Теорема Геделя о неполноте и физика

[epros]

rylov в сообщении #484831 писал(а):

Если физика представлена в виде системы утверждений, не имеющей вида логической конструкции

Любая система утверждений "имеет вид логической конструкции". Даже если в этой системе нет правил вывода, т.е. Вы оперируете только аксиомами. Вам же придётся как-то определять что является аксиомой Вашей теории, а что нет? Например, я скажу: "Сумма углов любого треугольника равна 270 градусам". Это утверждение Вашей "физической геометрии" или нет?

[rylov]

epros в сообщении #484840 писал(а):

Вам же придётся как-то определять что является аксиомой Вашей теории, а что нет? Например, я скажу: "Сумма углов любого треугольника равна 270 градусам". Это утверждение Вашей "физической геометрии" или нет?

Это не так. Сумма углов треугольника АВС определяется следующим образом. Нужно вычислить угол $\varphi _{A}+\varphi _{B}+\varphi _{C}$
где углы вычисляются по формулам. Для угла $\varphi _{A}$
используются формулы

$$\cos \varphi _{A}=\frac{\left( \mathbf{AB.AC}\right) }{\left\vert \mathbf{AB}% \right\vert \cdot \left\vert \mathbf{AC}\right\vert } $$

$( \mathbf{AB.AC}) =\sigma ( A,C) +\sigma (B,A) -\sigma ( B,C) -\sigma ( A,A)$
$\vert \mathbf{AB}\vert =\sqrt{2\sigma (B,A) }$
Для остальных углов используются аналогичные формулы. Для евклидовой геометрии используется евклидова мировая функция. В результате получается
$\pi $. Для других геометрий получаются другие результаты, поскольку мировые функции будут другие.
Обращаю внимание, что формулы не содержат ни координат, ни размерности соответствующей геометрии. Важна только мировая функция. Это очень упрощает дело, избавляя от необходимости рассматривать преобразования координат и инварианты, соответствующие этим преобразованиям. Это также подтверждает утверждение, что мировая функция описывает геометрию полностью, не отвлекаясь на способ описания.

[Joker_vD]

rylov в сообщении #484921 писал(а):

Важна только мировая функция.

И чего куда эта функция отображает?

[epros]

rylov в сообщении #484921 писал(а):

Для евклидовой геометрии используется ... Для других геометрий ...

Я спрашивал про Вашу теорию конкретно, а не про какие-то другие геометрии. Есть некое высказывание, про которое можно судить истинно оно или ложно. Я всего лишь хотел услышать, является ли оно утверждением Вашей теории.

rylov в сообщении #484921 писал(а):

Сумма углов треугольника АВС определяется следующим образом. .... где углы вычисляются по формулам

Стало быть, Вы не улавливаете, что "вычисление по формулам" - это не что иное, как вывод (т.е. доказательство) в рамках теории. А кто-то говорил, что его теория состоит из одних аксиом.

rylov в сообщении #484921 писал(а):

Важна только мировая функция.

Ба, да Вы оказывается метрику пространства "открыли". Добро пожаловать в клуб изобретателей велосипедов.

[rylov]

epros в сообщении #485109 писал(а):

Я спрашивал про Вашу теорию конкретно, а не про какие-то другие геометрии. Есть некое высказывание, про которое можно судить истинно оно или ложно. Я всего лишь хотел услышать, является ли оно утверждением Вашей теории.

"Моя теория" - это физическая геометрия. Физическая геометия - это не одна геометрия. Это целый класс геометрий. Каждому выбору мировой функции соответствует физическая геометрия. Неужели это так трудно понять? Впечатление такое, что Вы валяете дурака. Я продемонстрировал Вам, как вычисляется сумма углов треугольника в физической геометрии. Для евклидовой геометрии, которая является физической геометрией тоже, результат будет $\pi$. Для других (физических) геометрий результат будет, вообще говоря, другой.
Я старался смягчить некорректность Вашего вопроса. Но если Вы настаиваете на своем, то получайте ответ: "Вопрос поставлен некорректно!"

-- 23.09.2011, 16:58 --

epros в сообщении #485109 писал(а):

Стало быть, Вы не улавливаете, что "вычисление по формулам" - это не что иное, как вывод (т.е. доказательство) в рамках теории. А кто-то говорил, что его теория состоит из одних аксиом.

А Вам не известно, что "вычисление по формулам" является наиболее эффективным методом нумерации утвержений? Или Вы полагаете, что результаты одного и того же утверждения в разных вариантах теории можно давать только в виде матриц или простого их перечисления? Жаль, что Вам известен только один способ использования формул.

-- 23.09.2011, 17:05 --

epros в сообщении #485109 писал(а):

Ба, да Вы оказывается метрику пространства "открыли". Добро пожаловать в клуб изобретателей велосипедов.

Мировую функцию открыл не я. Она была введена Сингом для более эффективного описания римановых геометрий. Видите ли, для описания геометрии удобнее использовать инвариантную величину, чем тензорную (метрический тензор), потому что удается избежать зависимости от системы координат. Я лишь ухитрился использовать мировую функцию для более широко класса геометрий, чем класс римановых геометрий.

[epros]

rylov в сообщении #485546 писал(а):

Физическая геометия - это не одна геометрия. Это целый класс геометрий. Каждому выбору мировой функции соответствует физическая геометрия. Неужели это так трудно понять? Впечатление такое, что Вы валяете дурака.

Впечатление такое, что Вы валяете дурака. "Целый класс теорий" - это тоже теория. Например, Евклидова геометрия - часть Римановой. Так что Риманова геометрия - это "класс" из Евклидовой и разнообразных неевклидовых.

rylov в сообщении #485546 писал(а):

Я старался смягчить некорректность Вашего вопроса. Но если Вы настаиваете на своем, то получайте ответ: "Вопрос поставлен некорректно!"

Вопрос поставлен корректно. Это высказывание, а про высказывание можно судить, относится ли оно к утверждениям теории или нет. Например, Ваши слова про то, что "сумма углов треугольника вычисляется по формулам ..." - очевидным образом ЯВЛЯЮТСЯ утверждением Вашей теории.

Я всего лишь хотел выяснить, располагаете ли Вы какими-либо способами определять, что является утверждением Вашей "физической геометрии". И по Вашему предыдущему ответу я уже увидел, что располагаете. Хотя от прямого ответа именно на МОЙ вопрос Вы и уклонились.

rylov в сообщении #485546 писал(а):

А Вам не известно, что "вычисление по формулам" является наиболее эффективным методом нумерации утвержений? Или Вы полагаете, что результаты одного и того же утверждения в разных вариантах теории можно давать только в виде матриц или простого их перечисления? Жаль, что Вам известен только один способ использования формул.

Пофиг что там чего нумерует. Это не отменяет того факта, что вычисление по формулам - это и есть доказательство, т.е. вывод одних утверждений из других по правилам вывода теории. Например, если у Вас есть общее утверждение $x+y=y+x$, то отсюда может быть выведено (по правилу подстановки) $3+1=1+3$.

rylov в сообщении #485546 писал(а):

Видите ли, для описания геометрии удобнее использовать инвариантную величину, чем тензорную (метрический тензор), потому что удается избежать зависимости от системы координат.

Разумеется метрический тензор - это всего лишь частный случай определения метрики.

А Вы в курсе, что существуют неметрические геометрии? Они как по Вашим понятиям - не "физические" что ли?

[rylov]

epros в сообщении #485898 писал(а):

А Вы в курсе, что существуют неметрические геометрии? Они как по Вашим понятиям - не "физические" что ли?

Я даже в курсе того, что имеется так называемая симплектическая геометрия, хотя она на самом деле геометрией не является в том смысле, что она не изучает расположение геометрических объектов. Она просто похожа не евклидову геометрию по своей структуре ("метрический тензор" имеет кососимметрическую матрицу). Математикам все равно. Логическое построение? Да симплектическая геометрия представляет собой логическое построение. Но она имеет отношение к динамике, а не к изучению формы и расположения геометрических объектов. С точки зрения физика симплектическая геометрия - это не геометрия вовсе.
В геометрии имеется только одна геометрическая структура - функция расстояния (или мировая функция). Этого вполне достаточно для описания формы и расположения геометрических объектов. Другой вопрос. Как это делать? Какие производные понятия вводить на основе функции расстояния.
Вы можете ввести дополнительные независимые структуры (температуру, запах и т.п.) Это уже не будет геометрия в исконном смысле этого слова. Я называю такие построения "обогащенной геометрией".
Физикам, изучающим свойства пространства-времени, совершенно безразлично будет ли соответствующее построение логическим построением. Им важно только, чтобы были простые и четкие правила работы с физическими геометриями (т.е. геометриями, представляющими собой науку об изучении формы и расположения геометрических объектов). При этом в виде общего правила физические геометрии являются неаксиоматизируемыми геометриями, т.е. не являются логическими построениями. они не содержат ссылок на систему координат, размерность топологию. Все это производные понятия (или средства описания). То, что геометрия описывается в терминах мировой функции и только мировой функции является несомненным достоинством физической геометрии.

Я привел физические геометрии в виде примера таких построений, к которым теорема Геделя не имеет отношения, поскольку они не используют доказательств. Наверно следует отметить еще, что в физических геометриях отношение эквивалентности является интранзитивным. Именно по этой причине они являются неаксиоматизируемыми. (Во всех логических построениях отношение эквивалентности транзитивно).
Мне кажется, что подобным примером содержательной теории исчерпывается отношение теоремы Геделя к физике, что является предметом данной темы.

Давайте закончим на этом. Нечего толочь воду в ступе. Появились другие более интересные темы для обсуждения. Если Вам действительно интересны проблемы физической геометрии, то лучше посмотреть оригинальные работы. Ищите их в Архивах на мою фамилию "rylov". Русс. версии работ на моих сайтах. Их адреса имеются на титульных страницах всех моих работ в архивах.

[Lukin]

rylov в сообщении #485962 писал(а):

в физических геометриях отношение эквивалентности является интранзитивным. Именно по этой причине они являются неаксиоматизируемыми. (Во всех логических построениях отношение эквивалентности транзитивно).
Мне кажется, что подобным примером содержательной теории исчерпывается отношение теоремы Геделя к физике, что является предметом данной темы.

Так бы сразу и сказали, что пилевать Вы хотели на транзитивность эквивалентности и вытекающее из нее транзитивность равенства в ТМ и остальной математике. Если бы Вы с этого начали, все бы стало ясно. Не знаю, только изучаются ли в математике такие перлы, или это прерогатива чистой логики.

[Someone]

rylov в сообщении #485962 писал(а):

Я привел физические геометрии в виде примера таких построений, к которым теорема Геделя не имеет отношения, поскольку они не используют доказательств.

Да врёте Вы, причём, в наглую. Либо вообще не понимаете, о чём говорите. Как только Вы начинаете выводить какие-то формулы или что-то вычислять, сразу же появляются логические выводы и доказательства (и Вам об этом уже писал epros). Если Вы этого не понимаете, Вас нужно блокировать за злокачественную безграмотность.

И хватить нести безграмотную чушь о теореме Гёделя. Вы говорите чушь независимо от того, применима теорема Гёделя к какой-то геометрии или неприменима. И не постеснялись выложить эту чушь для всемирного обозрения.

rylov в сообщении #485962 писал(а):

Им важно только, чтобы были простые и четкие правила работы с физическими геометриями

Вот эти "простые и чёткие правила работы" и есть логика, и никуда Вы от логических конструкций в своей "физической" геометрии не делись.

rylov в сообщении #485962 писал(а):

в физических геометриях отношение эквивалентности является интранзитивным. Именно по этой причине они являются неаксиоматизируемыми.

Если отношение не является транзитивным, то оно не есть отношение эквивалентности. По определению. Если же Вы его незаконно назвали отношением эквивалентности, то это Ваша проблема. К аксиоматизируемости или неаксиоматизируемости это никакого отношения не имеет.

rylov в сообщении #485962 писал(а):

Если Вам действительно интересны проблемы физической геометрии, то лучше посмотреть оригинальные работы. Ищите их в Архивах на мою фамилию "rylov". Русс. версии работ на моих сайтах. Их адреса имеются на титульных страницах всех моих работ в архивах.

Смотрели. Позорище на весь мир.

[rylov]

Someone в сообщении #486014 писал(а):

Если отношение не является транзитивным, то оно не есть отношение эквивалентности. По определению. Если же Вы его незаконно назвали отношением эквивалентности, то это Ваша проблема. К аксиоматизируемости или неаксиоматизируемости это никакого отношения не имеет.

В физической геометрии эквивалентность двух векторов$AB$ и $CD$ опрделяется следующим образом. Векторы эквивалентны (равны), если их модули равны и их скалярное произведение равно произведению их модулей. Последнее означает, что угол между векторами равен нулю. (это два алгебраических уравнения). Модуль вектора и скалярное произведение двух векторов однозначно выражаются через функцию расстояния (мировую функцию). В евклидовой геометрии действует именно такое определение эквивалентности двух векторов. Оно выгодно отличается от всех прочих определений эквивалентности двух векторов в том отношении, что не использует ссылки на систему координат, размерность, топологию и прочие не имеющие отношения к делу вещи.

Если Вам задан вектор $AB$ и Вы желаете найти эквивалентный ему вектор в точке $C$, то Вы должны решить два алгебраических уравнения и найти положение точки $D$. Уравнений два, а координат точки - четыре. (в четырехмерном пространстве-событий). Для произвольной мировой функции, определяющей вид этих двух уравнений, будет, вообще говоря, много решений. Это означает, что будет много векторов $CD,CD',...$, эквивалентных вектору $AB$, но не эквивалентных между собой. Если немного пошевелить извилинами, то можно сообразить, что это обстоятельство означает интранзитивность отношения эквивалентности.
В случае собственно евклидовой геометрии решение всегда единственно для любого выбора векторов. В этом случае отношение эквивалентности транзитивно. Это обстоятельство порождено особым (вырожденным) характером евклидовой геометрии. Математики, которые имели дело только с евклидовой геометрией, почему-то решили, что отношение эквивалентности всегда транзитивно и придали этому силу закона.
Можно называть определенное таким образом отношение эквивалентности двух векторов каким нибудь другим термином на том основании, что математики считают отношение эквивалентности транзитивным. Однако, это ничего не изменит. Оно только покажет, что распространение свойств определений, полученных для вырожденного случая, на общий случай не приводит ни к чему хорошему.
Появление многих решений вместо привычного единственного я называю свойством многовариантности. Замечу, что в случае геометрии Минковского, эквивалентность пространственноподобных векторов обладает свойством многовариантности, тогда как для времениподобных векторов эквивалентность одновариантна. Замечу также, что свойство мнговариантности пространственноподобных векторов имеет следствием отсутствие пространственноподобных (сверхскоростных) мировых линий. Обычно отсутсвие сверхскоростных векторов объясняют ссылкой не принцип относительности (А оказывается, что это всего лишь свойство геометрии Минковского).
Что касается связи между неаксиоматизируемостью геометрии и интранзитивностью отношения эквивалентности, то здесь, как мне кажется комментарии не нужны. Теперь можно и подумать, а имеет ли отношение теорема Геделя к физической геометрии. И, вообще, можно поразмыслить о возможности существования нексиоматизируемых конструкций, которые не являются логическими построениями.

Я понимаю, что все это здорово противоречит существующей точке зрения, но мне кажется, что все же лучше поразмыслить над всем этим, поскольку все это имеет далеко идущие последствия.

Есть еще один вариант: объявить, что физических (неаксиоматизируемых) геометрий не бывает. Так по существу и было в двадцатом веке. Матиматики (и физики) в массе своей продолжают не признавать неаксиоматизируемые геометрии. Математикам от этого не жарко, не холодно (Эка проблема! Ну, не будем мы изучать неаксиоматизируемые геометрии. Что изменится от этого в геометрии?!) Физикам гораздо хуже. Игнорирование широкого класса геометрий, пригодных для описания пространства-времени, приводит к целому ряду несуразностей в ОТО и физике микромира. Приходится придумывать разные экзотические гипотезы для того, чтобы хоть как-то объяснить расхождения между предсказаниями теории и экспериментальными данными. Рассмотрение существенно более широкого класса геометрий позволяет непринужденно ликвидировать многие теоретические несуразности.

[rylov]

Someone в сообщении #486157 писал(а):

Да врёте Вы, причём, в наглую. Либо вообще не понимаете, о чём говорите. Как только Вы начинаете выводить какие-то формулы или что-то вычислять, сразу же появляются логические выводы и доказательства (и Вам об этом уже писал epros). Если Вы этого не понимаете, Вас нужно блокировать за злокачественную безграмотность.

Все это выглядит очень грозно. Когда и если Вы все же разберетесь в существе дела, Вам будет стыдно за Вашу самоуверенность. А может быть и нет. Все от человека зависит.

[Jnrty]

rylov, Вы продолжаете злостно нарушать правила форума, обсуждая здесь вопросы, не имеющие отношения к теме. Вам же было сказано: создавайте свою тему и там излагайте свои идеи. Напоминаю, что ссылки на внешние файлы допускаются только в качестве источника дополнительной информации, а суть дела должна быть изложена непосредственно здесь, на форуме, причём, не слишком длинно.

Jnrty:

Строгое предупреждение за продолжение захвата темы. Если будете писать здесь что-либо, не относящееся к теореме Гёделя, заблокирую.
Также предупреждаю, что если будете продолжать писать о теореме Гёделя всякую чушь, заблокирую за безграмотность (прецеденты были). Если хотите писать о теореме Гёделя, для начала приведите здесь её точную формулировку - в качестве теста на понимание предмета.

[Buba]

Jnrty:...

Цитата:

"писать о теореме Гёделя, для начала приведите здесь её точную формулировку - в качестве теста на понимание предмета.

Эта операция, скажем так, ни к чему не приведет. Всюду это будет только интерпретация, в том числе у самого К. Геделя и у поставившего саму эту задачу, Пуанкаре. То есть нужно сказать, откуда она эта задача взялась и к чему приводит анализ, этимологически, так сказать.
Вот для меня и Г. Вейля это звучит следующим образом...
Мы занем что, множество всех всевозможных отношений элементов множества, пусть даже оно пустое - приципиально не перечислимо (грандиозно по Вейлю и Цермело). К. Гёдель показал, что всегда можно найти формулу (отношений элементов множества) которая не соответствует заранее заданному алгоритму.
Второй своей теоремой "о неполноте..." К. Гедель показал, что аксиоматика (усиление аксиоматики) не сужает число случайных формул на множестве, а усугубляет ситуацию неопределенности теорий. (Эти теории оказываются более прозрачными, они как бы, не замечают разницы фактов, различного характера, однако сами оказываются взаимно противоречивыми.
(Известно, что Г. Вейль был ближе к экспериментальной математике, как и В. И. Арнольд, например).

Для физики это парадокс. Ибо теории - это формулы, отношения элементов действительности, описывающие физические явления. Но каким образом сама природа выбирает теории, организуя соответствующие явления?
То есть оказывается, что все всевозможное множество отношений элементов действительного множества - не грандиозно, а счетно и ограничено.
Что, кстати, и подтверждается адекватностью "теорий сииметрии" в основаниях современой физики.
Найдем это множество и будет нам счастье...
-------------------------
Конечно, это оч. вольная интерпретация. Но чтобы сказать это вполне деказательно, потребуется слишком "много гитик" ("Боливар не выдержит").

[PayMay]

(Оффтоп)

О, Боги, яду мне...яду...
Buba, шли бы Вы...

[Buba]

(Оффтоп)

Цитата:

О, Боги, яду мне...яду...
Buba, шли бы Вы...

А может веревкой обойдетесь?
...Ужас в том, что тупость, тамудизм - выживает только солидарностью, и как только обнаруживается оказывается невыносимым для самого убогого....
Так что простите, конечно, но это так, и совсем не смешно.

"Но мы пощажены не будем...
...
Да простота нужнее людям,
но сложное понятней им..."
(Пастернак, кажется, любимое у Колмогорова было)