-- рефлексивные банаховы пространства.
-- линейный оператор с областью определения
всюду плотной в
. Через
обозначим множство значений
. Множество
плотно в
.
Теорема. Элемент
тогда и только тогда принадлежит
, когда существует такая постоянная
, что для всех
справедливо неравенство
.
Доказательство. Введем линейный функционал
Очевидно,
поэтому найдется линейный функционал
такой, что
для любого
.
Рассмотрим диаграмму:
Здесь
-- естественные проекции, а операторы
взаимнооднозначны и таковы, что
Обозначим
В пространстве
зададим норму формулой
.
Лемма. Функционал
ограничен в смысле введенной нормы.
Действительно, каждый элемент
можно представить в виде
с некоторым
.
Тогда
Лемма доказана.
Поскольку
является изометрией, то по Лемме линейный функционал
ограничен. По теореме Хана-Банаха он может быть продолжен до ограниченного линейного функционала на
т.е.
.
Таким образом для любого
имеем
. Если через
обозначить элемент, который соответствует
при каноническом изоморфизме
, то получим
. ЧТД