2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 разрешимость линейного уравнения
Сообщение23.09.2011, 16:56 


10/02/11
6786
Пусть $E,F$ -- рефлексивные банаховы пространства; $A:E\to F$ -- ограниченный оператор. Зафиксируем элемент $y\in F$.

Доказать, что $y\in A(E)$ тогда и только тогда, когда существует такая постоянная $c$, что для всех $x\in F'$ справедливо неравенство $|(x,y)|\le c\|A'x\|_{E'}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: разрешимость линейного уравнения
Сообщение24.09.2011, 10:44 


10/02/11
6786
Похоже, непрерывность оператора не нужна. Нужна плотность области определения и еще кое-какие нюансы.

 Профиль  
                  
 
 Re: разрешимость линейного уравнения
Сообщение24.09.2011, 17:20 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Странная задача.
Считаем, что $y\neq 0$.
Пусть $y=Az$, где $z\in E$, $z\neq 0$. Неравенство $|(x,y)|\leqslant c\|A'x\|_{E'}$ можно переписать как $|(x,Az)|\leqslant c\sup\limits_{\|t\|_E=1} (x,At)$. Оно, очевидно, верно при $c=\|z\|$.
Обратно, пусть $y\not\in A(E)$. По теореме Хана-Банаха существует функционал $x\in F'$, равный нулю на $A(E)$ и такой, что $(x,y)\neq 0$. Тогда неравенство $|(x,y)|\leqslant c \sup\limits_{\|t\|_E=1} (x,At)$ не может выполнятся ни при каком $c$ (слева не нуль, справа нуль).

 Профиль  
                  
 
 Re: разрешимость линейного уравнения
Сообщение24.09.2011, 18:09 


10/02/11
6786
Padawan в сообщении #486015 писал(а):
Обратно, пусть $y\not\in A(E)$. По теореме Хана-Банаха существует функционал $x\in F'$, равный нулю на $A(E)$ и такой, что $(x,y)\neq 0$


Странная теорема Хана-Банаха. Если, например, $A(E)$ плотно в $F$, то указанного $x$ заведомо не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: разрешимость линейного уравнения
Сообщение25.09.2011, 07:43 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Да, точно. Почему то решил, что оно замкнутым должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: разрешимость линейного уравнения
Сообщение25.09.2011, 09:29 


10/02/11
6786
Мое решение, кажется тоже развалилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: разрешимость линейного уравнения
Сообщение01.10.2011, 18:42 


10/02/11
6786
$E,F$ -- рефлексивные банаховы пространства. $A:D(A)\to F$ -- линейный оператор с областью определения $D(A)$ всюду плотной в $E$. Через $R(A)\subseteq F$ обозначим множство значений $A$. Множество $D(A')$ плотно в $F'$.



Теорема. Элемент $y\in F$ тогда и только тогда принадлежит $R(A)$, когда существует такая постоянная $c$, что для всех $x\in D(A')$ справедливо неравенство $|(x,y)|\le c\|A'x\|_{E'}$.

Доказательство. Введем линейный функционал $h(x)=(x,y),\quad h\in F''.$
Очевидно, $\mathrm{ker}\,A'\subseteq\mathrm{ker}\,h$ поэтому найдется линейный функционал $w:R(A')\to\mathbb{R}$ такой, что $(wA')(u)=h(u)$ для любого $u\in D(A')$.

Рассмотрим диаграмму:
$$\xymatrix{F'\supseteq D(A')\ar[r]^p\ar[d]^q&D(A')/\mbox{ker}\, A'\ar[r]^{\tilde A'}\ar[ld]^{r}&R(A')\subseteq E'\ar[lldd]_w\\D(A')/\mbox{ker}\,h\ar[d]^{\tilde h}\\\mathbb{R}}$$
Здесь $q,p,r$ -- естественные проекции, а операторы $\tilde A',\tilde h$ взаимнооднозначны и таковы, что
$$A'=\tilde A'p,\quad h=\tilde hq,\quad q=rp.$$
Обозначим $ H=D(A')/\mbox{ker}\, A'.$

В пространстве $H$ зададим норму формулой $\|z\|_H=\|\tilde A' z\|_{E'}$.


Лемма. Функционал $\tilde hr:H\to\mathbb{R}$ ограничен в смысле введенной нормы.
Действительно, каждый элемент $z\in H$ можно представить в виде $z=p(x)$ с некоторым $x\in D(A')$.
Тогда
$$|\tilde hr(z)|=|\tilde h rp(x)|=|h(x)|\le c\|A'x\|_{E'}=c\|\tilde A'p(x)\|_{E'}=c\|\tilde A'z\|_{E'}=c\|z\|_H.$$ Лемма доказана.

Поскольку $\tilde A':(H,\|\cdot\|_H)\to (R(A'),\|\cdot\|_{E'})$ является изометрией, то по Лемме линейный функционал $w=\tilde hr(\tilde A')^{-1}$ ограничен. По теореме Хана-Банаха он может быть продолжен до ограниченного линейного функционала на $E'$ т.е. $w\in E''$.

Таким образом для любого $x\in F'$ имеем $(A''w,x)_{(F'',F')}=(x,y)_{(F',F)}=(x,y)$. Если через $\tilde w\in E$ обозначить элемент, который соответствует $w$ при каноническом изоморфизме $\psi:E\to E''$, то получим $A\tilde w=y$. ЧТД

 Профиль  
                  
 
 Re: разрешимость линейного уравнения
Сообщение02.10.2011, 10:34 


10/02/11
6786
Тут вроде бы еще такой нюанс есть. Область определения оператора $A''$ может оказаться шире области определения оператора $A$. Тогда в условии задачи надо считать, что $D(A)=D(A'')$ Равенство понимается в смысле канонического изоморфизма.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group