Интегрируемость, Фурье

[_hum_]

Могу ошибаться, но насколько понимаю, ситуация тут такова. Есть исходное преобразования Фурье $F: L_1(\mathbb{R}) \rightarrow CB_{r}(\mathbb{R})$, где $CB_{r}(\mathbb{R})$ - пространствно равномерно-непрерывных ограниченных функций. Можно рассматривать его сужения, например, на класс $D\subset L_1(\mathbb{R}) $ функций, удовлетворяющих во всех точках условию Дини. В этом случае он становится обратимым как оператор $F|_D: D \rightarrow F(D) $ (обратный задается через упоминавшуюся ранее формулу с $\mathrm{v.p.}$). Если еще больше сузить, например, на класс $D''\subset D $ функций с интегрируемой второй производной, то оператор $F|_D'': D'' \rightarrow F(D'') $ помимо того, что будет обратим, станет еще и оператором в $L_1(\mathbb{R}) $ (в отличие от предыдущих, которые не гарантировали абсолютную интегрируемость фурье-образа). В этом случае наступает симметрия между прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Теперь насчет $L_2(\mathbb{R})$. Само исходное преобразование $F$ на нем не определено. Поэтому пытаются ввести "расширенное" $\Tilde{F}$, наподобие:

$$\Tilde{F}[f](\lambda) = \mathrm{l.i.m}_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-i\lambda x}dx,$$

где, заметьте, сходимость понимается уже в среднеквадратичном. В этом случае, если не ошибаюсь, $\Tilde{F}$ автоматически становится обратимым оператором из $L_2(\mathbb{R}) $ в $L_2(\mathbb{R})$. Обратный, по-видимому (никогда не сталкивался), тоже считается через формулу обратного преобразования, в которой используется предел в среднеквадратичном.

Как-то так...

[vlad_light]

Спасибо! Только один вопрос:
у вас в формуле

Цитата:

$\Tilde{F}[f](\lambda) = \mathrm{l.i.m}_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} \hat{f}(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda$

слева функция должна зависеть от $x$ или справа должно быть обычное преобразование Фурье, а не обратное?
И $\hat{f(\lambda)}$ - это функция, которая получилась с помощью обычного преобразования Фурье: $L_1(\mathbb R)\ni f(t)\xrightarrow{\mathfrak F} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\lambda t}dt\in CB(\mathbb R)$?

[_hum_]

Да, извиняюсь. Конечно же, нужно как в прямом обычном $\Tilde{F}[f](\lambda) = \mathrm{l.i.m}_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-i\lambda x}dx$

Поправил.

[vlad_light]

Спасибо, во всём разобрался!

[В.О.]

vlad_light в сообщении #484949 писал(а):

Спасибо за помощь В.О.

Не стоит благодарности. Толковому человеку приятно подсказать.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Я же без сарказма, а Вы... Всё-равно, спасибо!

[В.О.]

(Оффтоп)

Никакого сарказма. Интернет искажает. Я вполне искренне. Ну , может быть, капельку.
С наилучшими...

[ewert]

_hum_ в сообщении #484999 писал(а):

где, заметьте, сходимость понимается уже в среднеквадратичном. В этом случае, если не ошибаюсь, $\Tilde{F}$ автоматически становится обратимым оператором из $L_2(\mathbb{R}) $ в $L_2(\mathbb{R})$. Обратный, по-видимому (никогда не сталкивался), тоже считается через формулу обратного преобразования, в которой используется предел в среднеквадратичном.

Как-то так...

Можно и как-то так, но разумнее поступать более абстрактно. Оператор Фурье -- это изометрический оператор, т.е. он сохраняет $L_2$-норму $\|f\|=\sqrt{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx}.$ Во всяком случае, на тех функциях, для которых это утверждение заведомо осмысленно -- например, на гладких и быстро убывающих. А поскольку такие функции плотны в $L_2(\mathbb R)$ -- этот оператор по непрерывности на всё $L_2(\mathbb R)$ и расширяется. При этом автоматически ровно так же расширяется и обратный