Теорема Ферма.Элементарное доказательство

[Валерий2]

Теорема Ферма. Элементарное доказательство.
«Большая теорема Ферма» утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x,y,z , для которых

\[ x^n + y^n = z^n (1) \]

где n простое

\[ \ge 3 \]

.
Для того, чтобы доказать, что уравнение (1) неразрешимо в целых числах, достаточно привести к противоречию предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел.
Утверждение, что уравнение (1) не может быть удовлетворено не делящимися на n числами, называют первым случаем теоремы Ферма.
Утверждение, что уравнение (1) не может быть удовлетворено числами, одно из которых делится на n, называют вторым случаем теоремы Ферма.
Рассмотрим первый случай теоремы Ферма.
x , y , z – взаимно простые , не делящиеся на n целые числа. (2)
Для них найдётся такое k, что

\[ x + y = z + k \]

(3)

Для любых попарно взаимно простых и не делящихся на n целых чисел x,y,z., удовлетворяющих уравнению (1), существуют такие пары целых чисел (q,

\[ z_1 \]

), (m,

\[ x_1 \]

), (p,

\[ y_1 \]

), состоящие из взаимно простых чисел, что

\[ x = mx_1 \]

(4)

\[ y = py_1 \]

(5)

\[ z = qz_1 \]

(6)

\[ x + y = z + k = q^n \]

(7)

\[ z - y = x - k = m^n \]

(8)

\[ z - x = y - k = p^n \]

(9)
Формулы (4) – (9) - это формулы Абеля.
Для дальнейших рассуждений интерес представляет произведение

\[ m^n p^n \]

.
Из (8) – (9) определим

\[ m^n p^n \]

:

\[ m^n p^n = \left( {x - k} \right)\left( {y - k} \right) = xy - ky - xk + k^2 = xy - zk \]

(10)
C учётом (4)– (9):

\[ k = mpqB \]

(11)
Возведём обе части равенства (3) в квадрат:

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k^2 + 2zk - 2xy \]

(12)

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2\left( {xy - zk} \right) = z^2 + k^2 - 2m^n p^n \]

(13)
Возведём обе части равенства (3) в куб:

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3\left( {x - k} \right)\left( {y - k} \right)\left( {x + y} \right) \]

(14)
и с учётом (7) – (9)

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3m^n p^n q^n \]

(15)
Рассмотрим случай, когда

\[ n = 3 \]

в равенстве (1):

\[ x^3 + y^3 = z^3 \]

(16)
Значит,

\[ k^3 = 3m^3 p^3 q^3 \]

(17)

\[ k^{} = m^{} p^{} q^{} \sqrt[3]{3} \]

(18)
Следовательно, k не может быть рациональным.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма при

\[ n = 3 \]

доказан.
Перемножим (3) и (15):

\[ x^4 + y^4 = z^4 + k^4 - 2m^n p^n \left( {z^2 + k^2 - xy + zk + q^{2n} } \right) \]

(19)
Рассмотрим случай, когда

\[ n = 4 \]

в равенстве (1):

\[ x^4 + y^4 = z^4 \]

(20)
Значит,

\[ k^4 = 2m^4 p^4 \left( {z^2 + k^2 - xy + zk + q^{2n} } \right) \]

(21)

Так как z и k делятся на q, то xy должно делиться на q, что не соответствует
условию (2), то есть предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел, при

\[ n = 4 \]

(см.(20)) привело к противоречию.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма при n=4 доказан.
Перемножим (12) и (14):

\[ x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - 5\left( {x - k} \right)\left( {y - k} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x^2 + y^2 + xy - zk} \right) \]

(22)

\[ x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - 5m^n p^n q^n \left( {x^2 + y^2 + m^n p^n } \right) \]

(23)
Возведём обе части уравнения (23) в квадрат:

\[ x^{10} + y^{10} + 2x^5 y^5 = z^{10} + k^{10} + 2z^5 k^5 - 10m^n p^n q^n \left( {x^2 + y^2 + m^n p^n } \right)\left( {z^5 + k^5 } \right) + 25m^{10} p^{10} q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^n p^n } \right)^2 \]

(24)
Рассмотрим случай, когда

\[ n = 10 \]

в равенстве (1):

\[ x^{10} + y^{10} = z^{10} \]

(25)
Значит,

\[ k^{10} = - 2z^5 k^5 + 2x^5 y^5 + 10m^{10} p^{10} q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)\left( {z^5 + k^5 } \right) - 25m^{10} p^{10} q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)^2 \]

(26)

\[ k^{10} = 2(xy - zk)(x^4 y^4 + x^3 y^3 zk + x^2 y^2 z^2 k^2 + ...) + 10m^5 p^5 q^5 (x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} )(z^5 + k^5 ) - 25m^{10} p^{10} q^{10} (x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} )^2 \]

(27)

\[ k^{10} = m^{10} p^{10} \left[ {2\left( {x^4 y^4 + x^3 y^3 zk + x^2 y^2 z^2 k^2 + ...} \right) + 10q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)\left( {z^5 + k^5 } \right) - 25q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)^2 } \right] \]

(28)
Так как z и k делятся на q, то

\[ x^4 y^4 \]

должно делиться на q, что не соответствует
условию (2) , то есть предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел, при

\[ n = 10 \]

(см.(25)) привело к противоречию.
Отсюда следует, что и для показателя n=5 условие (2) не может быть выполнено.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма при n=5 доказан.
Рассмотрим доказательство первого случая теоремы Ферма в общем виде.
Так как n – простое, то , возводя (3) в степень n и используя формулы Абеля, представляем :

\[ x^n + y^n = z^n + k^n - m^f p^f q^f A \]

(29)
Здесь f – показатель степени, при котором:

\[ x^f + y^f = z^f \]

(30)
Возведём (29) в квадрат:

\[ x^{2n} + y^{2n} + 2x^n y^n = z^{2n} + k^{2n} + 2z^n k^n - 2m^f p^f q^f A\left( {z^n + k^n } \right) + m^{2f} p^{2f} q^{2f} A^2 \]

(31)
Пусть при

\[ f = 2n \]

выполняется условие (1):

\[ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n} \]

(32)

\[ k^{2n} = - 2z^n k^n + 2x^n y^n + 2m^{2n} p^{2n} q^2 A\left( {z^n + k^n } \right) - m^{4n} p^{4n} q^{4n} A^2 \]

(33)

\[ k^{2n} = 2\left( {xy - zk} \right)\left( {x^{n - 1} y^{n - 1} + x^{n - 2} y^{n - 2} zk + ... + z^{n - 1} k^{n - 1} } \right) + 2m^{2n} p^{2n} q^{2n} A\left( {z^n + k^n } \right) - m^{4n} p^{4n} q^{4n} A^2 \]

(34)

\[ k^{2n} = m^{2n} p^{2n} \left[ {2\left( {x^{n - 1} y^{n - 1} + x^{n - 2} y^{n - 2} zk + ... + z^{n - 1} k^{n - 1} } \right) + 2q^{2n} A\left( {z^n + k^n } \right) - m^{2n} p^{2n} q^{4n} A^2 } \right] \]

(35)

Так как z и k делятся на q, то

\[ x^{n - 1} y^{n - 1} \]

должно делиться на q, что не соответствует
условию (2) , то есть предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел , при показателе 2n привело к противоречию Отсюда следует, что и для показателя n условие (2) не может быть выполнено.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма можно считать доказанным. Рассмотрим второй случай теоремы Ферма.
Формулы, аналогичные (4) – (9) , существуют и для случая, когда одно из чисел x, y, z делится на n. Поэтому приведённые выше рассуждения справедливы и для второго случая теоремы Ферма.
P.S. Доказана невозможность для простых n≥3 существования тройки взаимно простых
x,y,z , удовлетворяющей уравнению

\[ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n} \]

(значит, и

\[ x^n + y^n = z^n \]

).

[PAV]

Замечание за открытие новой темы, аналогичной существующей http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=5134. Старую тему закрываю.