Подгруппы свободной группы с 1-м соотношением

[Sonic86]

Пусть $F=\langle a,b\rangle$ - свободная группа ранга 2, $R \in F$.
Найти все подгруппы $G_u=\langle a,b|u\rangle$ с одним порождающим соотношением, такие, что $R=1$ в $G_u$ (ну точнее: $\varphi _u \colon F \to G_u$ - гомоморфизм, найти все $u \colon \varphi _u(R)=1$).

Хорошо бы доказать ограниченность $|u|$ ($|u|$ - длина прообраза сокращенного $u$ в свободном моноиде, соответствующем $F$, а если короче - длина $u$), ну или конечность числа нетривиальных (не знаю пока в каком смысле) решений.
Пока нашел такое:
1. Если $u$ - решение, то $\bar d u d$ - решение для всех $d \in F$, так что можно ограничиться такими $u$, циклическое замыкание которых совпадает с $u$ (а еще точнее - с их прообразом в моноиде и т.д. и т.п.) (м.б. это и есть нетривиальные решения, а может и нет)
2. $u=R$ - решение.
3. Если $(\exists n)R=r^n$, то для всех $k:1 \leqslant k \leqslant n$ имеем $u = r ^{k}$ - решение.
(если $u^m$ - решение, то и $u$ - решение)
4. Если сумма степеней показателей по $a$ равна нулю, то $u=b$ - решение и наоборот.

Дальше туплю. И как ограничить множество допустимых $u$ до конечного множества не знаю.
Хелп!

З.Ы. Блин, это связано с проблемой равенства слов. Фигово...
З.З.Ы. Нашел: Магнус, Каррас, Солитэр Комбинаторная теория групп, глава 4.4. - пока читаю.
Но если кто-то хочет написать - напишите.

[bnovikov]

Добавляю более поздние книги:

Линдон, Шупп Комбинаторная теория групп

Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах

Ольшанский А.Ю. Групповые исчисления

Вообще-то задача не выглядит решаемой. Посмотрите еще статьи Линдона, он занимался группами с одним соотношением.

Поправляюсь: последняя ссылка - не книга, а популярная статья.

[Sonic86]

Спасибо за книги!

bnovikov в сообщении #484675 писал(а):

Вообще-то задача не выглядит решаемой.

Вот в указанной книге глава 4.4. посвящена доказательству разрешимости проблемы равенства слов в группе с одним соотношением. Только страшно очень - 38 страниц.

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #484687 писал(а):

Только страшно очень - 38 страниц.

Сочувствую, сам никогда не разбирал. Посмотрите Линдона-Шуппа, гл.2, парагр. 5,6 и гл.4, парагр. 5. Там много полезной информации.

[Sonic86]

bnovikov в сообщении #484691 писал(а):

Сочувствую, сам никогда не разбирал. Посмотрите Линдона-Шуппа, гл.2, парагр. 5,6 и гл.4, парагр. 5. Там много полезной информации.

Ладно, я его просто начал читать с самого начала и ниасилил, дальше 30-й страницы не ушел. Очень уж он страшный. Магнус первые 100 страниц еще можно прочесть...
Придется разбираться.