Склейка пространств (из R и R^2 получить тор)

[Бабай]

Я не уверен, правильно ли я себе представляю склейку, при которой из $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^2$ получаются соответственно окружность и тор.

По-моему, для получения окружности достаточно взять разбиение числовой прямой на $(-\infty,a] \cup [b,+\infty)$, где $a,b \in \mathbb{R}, a \neq b$, и множества $\{x\}, \, x\in (a,b)$ и отождествить все точки из $(-\infty,a] \cup [b,+\infty)$.

Для получения тора надо разбить $\mathbb{R}^2$ на $\{(x,y)\}, x \in (a,b), y \in (c,d)$ и… на что ещё?…я мог бы отождествить все точки лежащие на горизонтальной/вертикальной прямой вне тора…но ещё же остаются четыре области по углам…так же ведь?…что делать с ними? Или лучше использовать другое разбиение?

[мат-ламер]

Для получения тора я бы взял замкнутый квадрат (а не плоскость) и отождествил бы противоположные точки.

[Бабай]

Я бы тоже взял прямоугольник или квадрат…и уже брал…этот пример стандартный и поэтому было легко. А теперь вот вопрос в том, как (красиво) состряпать тор именно из плоскости.

[Someone]

Ну сожмите плоскость в квадрат и склеивайте из него тор.

[мат-ламер]

Можно, например, отождествить точки плоскости, чьи координаты (как одна, так и вторая) отличаются на целое число.

[Бабай]

Someone в сообщении #484623 писал(а):

Ну сожмите плоскость в квадрат и склеивайте из него тор.

Мысль такая была…но я хотел склеивать сразу, не прибегая к каким-либо деформациям…и кроме того, как вообще сжимать плоскость до квадрата с границей??

мат-ламер в сообщении #484624 писал(а):

Можно, например, отождествить точки плоскости, чьи координаты (как одна, так и вторая) отличаются на целое число.

Так, ну что этим вводится отношение эквивалентности на $\mathbb{R}^2$ -- это понятно. А что из этой факторизации получается тор??…о да!…теперь кажется вижу почему…я представляю себе ситуацию как накидывание сети на плоскость, в узлах которой расположены точки с целыми координатами. Таким образом, отождествляются все соответствующие точки из каждой ячейки, а также все точки, которые получаются пересечением вертикальной/горизонтальной прямой с самой сетью. Правильно?
А вообще как "формально" доказать, что это тор?…то есть каким образом можно эту наглядную картину строго записать?…или не стоит?