Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов

[farewe11]

_hum_ в сообщении #483429 писал(а):

всякое событие , очевидно, можно представить в виде разложения $A = \sqcup _k AD_k$ . Тогда, пользуясь аддитивностью вероятности, получаем .

Начиная с этого места, я уже перестал понимать. Просто даже не знаю, что это за обозначение - $\sqcup$... Я, в принципе, сам вчера разбирался и решил, что дело обстоит так: когда мы просуммируем по $k$, будут сложены вероятности всех возможных событий с нашей случайной величиной, и, соответственно, в сумме будет $1$. Похоже на правду хоть? А если нет, то можно вас попросить как-нибудь более.. общо объяснить про эту формулу?

-- Пт сен 16, 2011 22:06:54 --

А конкретно непонятно следующее выражение: $AD_k$
Это сумма событий?
Эх, если бы знать, что это за "$\sqcup$" такой, наверно, сразу понятнее бы стало.

[_hum_]

Обозначения:
$AB$ - событие "$A$ и $B$";
$A\cup B $ - событие "$A$ или $B$";
$D_1\sqcup D_2 $ - событие "$D_1$ или $D_2$", где $D_1$, $D_2$ - несовместные события.

Цитата:

Похоже на правду хоть?

Ну, по общему духу что-то где-то рядом. Но пока не совсем верно.

Цитата:

то можно вас попросить как-нибудь более.. общо объяснить про эту формулу?

Я не совсем представляю уровень вашего владения материалом...С элементарными операциями над событиями и их свойствами знакомы? Полная группа попарно несовместных событий в курсе, что за такая? Примеры привести можете?

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #483594 писал(а):

$D_1\sqcup D_2 $ - событие "$D_1$ или $D_2$", где $D_1$, $D_2$ - несовместные события.

А такое обозначение часто встречается?

($\TeX$.)

Кстати, для того, чтобы этот оператор с индексом представить, есть же специальное $\bigsqcup$. Оно больше, как всегда делают с операторами в «индексной» записи. А вы у себя маленький набрали. Вот вариант: $A = \bigsqcup_k AD_k$.

[farewe11]

Ааа. А в чем разница между $A\cup B$ и, допустим, $C\sqcup D$?
И что означает индекс под этим знаком?

_hum_ в сообщении #483594 писал(а):

Я не совсем представляю уровень вашего владения материалом...С элементарными операциями над событиями и их свойствами знакомы?

Да, это всё знаю, а этой темой закрываю последние пробелы.

_hum_ в сообщении #483594 писал(а):

Полная группа попарно несовместных событий в курсе, что за такая? Примеры привести можете?

Да тот же кубик шестигранный..

[Joker_vD]

arseniiv в сообщении #483596 писал(а):

А такое обозначение часто встречается?

В принципе, для обозначения дизъюнктной разности значок $\sqcup$ — самое то. Напоминает нам о копроизведении в категории множеств

farewe11 в сообщении #483619 писал(а):

Ааа. А в чем разница между $A\cup B$ и, допустим, $C \sqcup D$?

Последняя запись говорит, что $C \cap D = \varnothing$.

[farewe11]

Я понял. Но что же, все-таки, обозначает индекс $\sqcup_k$ ?

[arseniiv]

$\bigsqcup_{k=1}^n a_k \equiv a_1 \sqcup a_2 \sqcup \ldots \sqcup a_k$ — стандартное обозначение. Вспомните сумму $\sum_k a_k$, произведение $\prod_k a_k$. Интервалы изменения $k$ часто вот так опускаются, когда известно, «откуда докуда» оно меняется.

[farewe11]

Ну я так и думал. Почему, кстати, $A = AD_k$ ? Событие $A$ равняется событию $AD_k$ - что-то странно..

[arseniiv]

Нет, там же было написано $A = \bigsqcup_k AD_k$. Т. е. берём и объединяем все кусочки, на которые $A$ как множество делится разбиением достоверного события на $D_1, D_2, \ldots, D_k$. Точнее говоря, здесь мы имеем $\bigsqcup_k AD_k = \bigcup_k AD_k = A \left( \bigcup_k D_k \right) = A\Omega = A$, если достоверное событие обозначается $\Omega$ (не помню, у кого как).

[farewe11]

Проклятье :) Все равно я не могу понять.

arseniiv в сообщении #483865 писал(а):

объединяем все кусочки, на которые $A$ как множество делится разбиением достоверного события ...

$A$ - множество??? Это же событие...
Почему $\Omega A = A$? Какой смысл этого выражения?

[Joker_vD]

farewe11 в сообщении #484272 писал(а):

Проклятье :) Все равно я не могу понять.

arseniiv в сообщении #483865 писал(а):

объединяем все кусочки, на которые $A$ как множество делится разбиением достоверного события ...

$A$ - множество??? Это же событие...
Почему $\Omega A = A$? Какой смысл этого выражения?

Ну а что такое событие, по вашему? Это множество, входящее в сигма-алгебру $\mathfrak F$ вероятностного пространства $(\Omega, \mathfrak F, P)$.

$\Omega A \stackrel{def}= \Omega \cap A = A$, т.к. $A \subset \Omega$.

Вы как будто все лекции прогуливали, ей-богу. А на них рассказывают, что сумма событий обозначается $A+B$ или $A\cup B$, а произведение событий — $AB$ или $A\cap B$.

[farewe11]

Стоп-стоп-стоп. Я не могу уловить, где очевидное переходит в невероятное. Давайте начнем сначала, вот сообщение, по которому у меня столько вопросов:

_hum_ в сообщении #483429 писал(а):

Нууу, если имеется полная группа $\{D_k\}_k $ попарно несовместных событий (попарно несовместных событий, объединение которых в совокупности дает достоверное событие), то всякое событие $A$, очевидно, можно представить в виде разложения $A = \sqcup _k A D_k$. Тогда, пользуясь аддитивностью вероятности, получаем $P(A) = \sum_k P(A D_k)$.

Если положить теперь $A = , $D_k = , то поскольку в этом случае $\{D_k\}_k$ - как раз-таки полная группа попарно несовместных событий (проверьте!), можем воспользоваться сказанным выше и записать $P(\xi_1 = i) = \sum_k P(\xi_1 = i, \xi_2 = k)$.

Итак, вот это место: "всякое событие $A$, очевидно, можно представить в виде разложения $A = \sqcup _k A D_k$." Никак не могу понять, что же тут?? В правой части - одно из событий $AD_k$, то есть одновременное происхождение события $A$ и одного из событий $D_k$. Правильно?
Почему это - и есть $A$?

[Joker_vD]

$$\bigsqcup\limits_{k=1}^n (A\cap D_k) = A \cap \left( \bigsqcup_{k=1}^n D_k \right) = A \cap \Omega = A$$

[farewe11]

Наконец-то понял. Спасибо! Как выяснилось, проблема была только в обозначениях, которые применял _hum_ - уж слишком неочевидные..

P.S. а как называется свойство, по которому

Joker_vD в сообщении #484310 писал(а):

$$\bigsqcup\limits_{k=1}^n (A\cap D_k) = A \cap \left( \bigsqcup_{k=1}^n D_k \right)$$

?
Просто если я буду объяснять это преподавателю, то на этом месте мне и сказать-то будет нечего, кроме как "интуитивно кажется".

[Joker_vD]

Дистрибутивность. Знаете, $a(b+c)=ab+ac$, и точно так же $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.