Функция с переменным числом параметров

[Riddick]

Есть функция двух переменных:
$f=x_1+x_1+x_1x_2$

Я построил несколько линий уровня этой функции (f=0, f=1, f=-1, f=-2), для этого выразил одну переменную через другую:

$x_2=-1+ (f+1)/(x_1+1)$

Далее хитрый преподаватель (который, видимо, подрабатывает в военокомате) рисует мне некое множество допустимых значений и требует найти extr

Ну мне умные люди подсказали, что extr будет там, где касательные к линиям уровня совпадают с касательными к линии ограничения (окружности). Но вот я никак не могу разобраться где здесь max, min.
В принципе я знаю, что функция в 1 и 3 четвертях возрастает, а во 2 и 4 убывает

Поэтому как вариант есть такая трактовка:
т.1 - глобальный максимум
т.2 - глобальный минимум
т.3 - локальный максимум
т.4 - глобальный минимум

График
http://photofile.ru/users/riddick311/23 ... nImageLink
Внизу нажать на "Полный размер"

P.S. конкретная подстава с точками, лежащими на асимпототах!!

[Gordmit]

Локальных максимумов/минимумов здесь быть не может, т.к. функция монотонная.

(Кстати, рисунок не совсем точен: прямая $x_2=-1$ также будет частью линии уровня, соответствующей значению $f=-1$, а не только прямая $x_1=-1$.)

Из рисунка понятно, что в точке 1 функция достигает своего максимального значения на этом множестве, а в точках 2 и 4 - минимального. Точка 3 здесь, по-моему, лишняя.

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

К слову, поверхность, задаваемая функцией $f(x_1,x_2)=x_1+x_2+x_1x_2$, есть гиперболический параболоид.

[незваный гость]

1)

Riddick писал(а):

$f=x1+x1+x1*x2$

Верна ли такая поправка: $f=x_1+x_2+x_1 x_2$?

(Не забывайте окружать формулы знаками $. И почитайте, как записывать формулы.)

2) На Вашем чертеже «некое множество допустимых значений» — это круг (окружность)? То есть, задано ли Вам множесво $\{(x_1,x_2)\}$ и надо ли Вам найти экстремумы $f$ на этом множестве?

Вообще говоря, утверждение про касательные неверно без уточнений. Например, множество, на котором вы ищете экстремум может не иметь касательных (самый простой случай — отдельно стоящие точки точки).

В Вашем случае этот критерий применить можно.

3) Как отличить максимум от минимума? Например, сравнить значение $f$ в этих точках. Еще один вариант — при существовании второй производной (производных более высоких порядков) использовать их для анализа поведения функции.

4) Совпадение касательных — необходимый, но не достаточный признак. В частности, поведение около точки три может дать локальный максимум, а может и не дать — в зависимости от сравнительной кривизны гиперболы и окружности. Я, впрочем, склонен соглашаться с Gordmit — нет тут максимума.

[Riddick]

Цитата:

а в точках 2 и 4 - минимального

А разве может быть у функции два глобальных минимума?

Цитата:

есть, задано ли Вам множесво и надо ли Вам найти экстремумы на этом множестве?

Такое есть. Вопрос звучит как бы Что если обозначенное на рисунке множество будет допустимым для функции, найти на нем экстремумы

Цитата:

В частности, поведение около точки три может дать локальный максимум

Но до этого писали:

Цитата:

Локальных максимумов/минимумов здесь быть не может, т.к. функция монотонная

И кому мне верить?

Цитата:

но не достаточный признак

А что за достаточный признак такой? Я тут и гессиан посчитал и вторую производную...

Всем большое спасибо за помощь!!![/b][/quote]

[e2e4]

Сорри за оффтоп.

незваный гость писал(а):

Как отличить максимум от минимума? Например, сравнить значение в этих точках. Еще один вариант — при существовании второй производной (производных более высоких порядков) использовать их для анализа поведения функции.

Насколько я понимаю, по смене знака первой производной можно определить тип экстремума. По смене знака второй производной определяются области выпуклости и вогнутости функции. Поясните, как использовать производные высших порядков для определения характера экстремума?

[незваный гость]

Riddick писал(а):

А разве может быть у функции два глобальных минимума?

Давайте по определению: минимум — это точка, в некоторой окрестности которой значение функции не меньше значения в точке минимума. Глобальный минимум — это минимум, для которого такая окрестность есть все множество определения функции. Например, константа ($f(x) = 1$) имеет глобальный минимум (он же максимум) во всех точках.

e2e4 писал(а):

Насколько я понимаю, по смене знака первой производной можно определить тип экстремума. По смене знака второй производной определяются области выпуклости и вогнутости функции.

Для функции одного переменного, если вторая производная во (внутренней) точке экстремума положительна, мы имеем дело с минимумом, отрицательна — с максимумом. Для функций многих переменных мы говорим о положительной определенности соответствующей квадратичной формы. (Разумеется, все это сводится к изменению знака производной. Но считать обычно проще…)

Riddick писал(а):

И кому мне верить?

Хочется стукнуть себя в грудь и закричать: мне, мне верьте! Но правильный ответ — верить надо только себе А с тем, что говорят другие, надо самому разобраться. В частности, здесь весьма уместный вопрос — а почему тут может быть, а может и не быть локальный максимум (невзирая на монотонность функции)? Ответ — потому, что эта точка на границе. И некоторое утверждения, верные для внутренних точек тут могут оказаться не верны. Например, требование равенства нулю производной.

(Я бы еще задумался над вопросом — а что вообще такое монотонность функции двух и более переменных?)

[Дядя Фёдор]

e2e4 писал(а):

Поясните, как использовать производные высших порядков для определения характера экстремума?

Ну в общем - если первая ненулевая производная имеет нечетный порядок то экстремума нет, если четный - то делаем как со второй производной, а если все производные нулевые, то это вообще функция-ноль.

[Gordmit]

Riddick писал(а):

Цитата:

а в точках 2 и 4 - минимального

А разве может быть у функции два глобальных минимума?

А вы посчитайте значение функции $f(x_1,x_2)=x_1+x_2+x_1x_2$ в точках $\mathbf{2}=(-1,-2)$ и $\mathbf{4}=(-2,-1)$, надеюсь, после этого должно быть понятно.

Riddick писал(а):

Цитата:

есть, задано ли Вам множесво и надо ли Вам найти экстремумы на этом множестве?

Такое есть. Вопрос звучит как бы Что если обозначенное на рисунке множество будет допустимым для функции, найти на нем экстремумы

Как обычно ищутся экстремумы функции на некотором множестве: находятся все локальные экстремумы внутри него (в данном случае их нет), т.е. значения функции в них, а также значения функции на границе этого множества (здесь окружность). Затем наибольшее из них - это глобальный максимум, а наименьшее - глобальный минимум.

Riddick писал(а):

Цитата:

В частности, поведение около точки три может дать локальный максимум

Но до этого писали:

Цитата:

Локальных максимумов/минимумов здесь быть не может, т.к. функция монотонная

И кому мне верить?

Нельзя принимать просто так на веру утверждения, которых не понимаешь. Доверяй, но проверяй!
Мое утверждение состоит в том, что внутри круга у функции $f(x_1,x_2)$ нет локальных экстремумов. Визуально я заключил это из рисунка, сказав, что она монотонна (по $x_1$ и $x_2$), но можно строго это доказать, найдя нули частных производных:

$\frac{\partial f}{\partial x_1}=1+x_2=0$, т.е. $x_2=-1$;
$\frac{\partial f}{\partial x_2}=1+x_1=0$, т.е. $x_1=-1$; и таким образом, подозрительной на локальный экстремум точкой во всей плоскости является лишь (-1,-1), но она не лежит в нашем круге. (Можно показать, что эта точка не будет локальным максимумом или минимумом.)

Таким образом, осталось лишь сравнить значения функции на границе круга.
Из рисунка понятно то, что я написал (1 - max, 2,4 - min), но можно и это строго показать.

[незваный гость]

Дядя Фёдор писал(а):

Ну в общем - если первая ненулевая производная имеет нечетный порядок то экстремума нет, если четный - то делаем как со второй производной, а если все производные нулевые, то это вообще функция-ноль.

А вот так не надо. Есть контр-примеры

[Gordmit]

незваный гость писал(а):

В частности, здесь весьма уместный вопрос — а почему тут может быть, а может и не быть локальный максимум (невзирая на монотонность функции)? Ответ — потому, что эта точка на границе. И некоторое утверждения, верные для внутренних точек тут могут оказаться не верны. Например, требование равенства нулю производной.

Конечно, здесь приходится искать минимум и максимум на границе круга. Заключения, сделанные из рисунка, о том, что в т. 1 будет максимум, а в т. 2 и 4 минимум может показаться слегка голословным (а почему не в т. 3?), но и это тоже можно обосновать строго: например, параметризуем нашу окружность $C$ параметром $\varphi$: $x_1=-2+\cos\varphi$, $x_2=-2+\sin\varphi$ и подставим в функцию $f$. Тогда легко найти $\varphi\in[0,2\pi]$, при которых функция $f=f(x_1,x_2)|_C=f(\varphi)$ принимает наибольшее и наименьшее значение.

незваный гость писал(а):

(Я бы еще задумался над вопросом — а что вообще такое монотонность функции двух и более переменных?)

Я лишь имел в виду монотонность отдельно по переменной $x_1$ и по переменной $x_2$. Если обе эти (строгие) одинаковые монотонности имеют место, то локального экстремума быть не может.

[Brukvalub]

Дядя Фёдор писал(а):

e2e4 писал(а):

Поясните, как использовать производные высших порядков для определения характера экстремума?

Ну в общем - если первая ненулевая производная имеет нечетный порядок то экстремума нет, если четный - то делаем как со второй производной, а если все производные нулевые, то это вообще функция-ноль.

- последнее утверждение- неверное. Упражнение: доказать, что функция $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {e^{\frac{1}{x}} \quad ,x < 0} \\ {0\quad ,x \ge 0} \\ \end{array}} \right.$ бесконечно дифференцируема в нуле, все её производные в нуле равны 0, но она отлична от нуля в любой окрестности нуля и имеет в нуле локальный минимум (нестрогий).

[незваный гость]

2 Brukvalub:
Упражнение: доказать, что функция $f(x) = e^{-\frac{1}{|x|}}$ (дополненая в нуле по непрерывности) бесконечно дифференцируема в 0, все производные равны нулю, и имеет в нуле строгий минимум. Sorry, не удержался

Gordmit писал(а):

Конечно, здесь приходится искать минимум и максимум на границе круга. Заключения о том, что в т. 1 будет максимум, а в т. 2 и 4 минимум может показаться слегка голословным (а почему не в т. 3?),

Оставьте немного подумать Riddick. Я намеренно подсветил тонкие места вопросами, не давая на них ответов. Разумеется, всякое утверждение надо доказывать, но совсем не обязательно на форуме.

[e2e4]

Благодарю за пояснение. В принципе, очевидно, что если функция вогнута в окресности своего экстремума (2-я производная положительна), то это - минимум, а если выгнута(вторая производная открицательна) - то максимум.

[Riddick]

С глобальными экстремумами я разобрался (спасибо тем, кто пытался помочь), а вот с локальными еще остается проблемка Производной нельзя исследовать точки на границе, а насчет монотонности мне не совсем ясно, хотя... я помню теорему, что "Если ф-ция монотонно возрастает (убывает) на интервале и дифф-уема во всех его точках, то она на нем имеет максимум (минимум)". Каким вообще способом исследовать ф-цию на локальный extr?

Способ определения локального extr должен быть таким же как способ определения глобального с помощью касательных (т.е. без каких-либо подсчетов, ведь я даже не знаю и не могу построить уравнение окржуности допустимых значений, потому что оно заданно графически и при этом лишь известно, что оно касается асимптоты, линии уровня f=-1 и f=1)

Вообще-то этот метод касательных применим и к точке 3. Просто там не построена линия уровня! Если ее построить, то касательная к ней и касательная к окружности в этой точке совпадут.
IMHO утверждение про глобальные extr неверно! Их здесь не будет, т.к. функция ограничена допустимым множеством значений (окружностью), поэтому здесь будет два локальных максимума и два локальных минимума. ПОчему 1,3 -макс, а 2,4 - мин? Потому что Я знаю как изменяется функция, в какую сторону она увеличивается, а в какую уменьшается (увеличивается в 1 и 3 четвертях, а уменьшается во 2 и 4)... Ну отпишитесь кто-нить! Хотя бы поправьте мои рассуждения, если что-то неверно в них!

[Brukvalub]

Riddick писал(а):

я помню теорему, что "Если ф-ция монотонно возрастает (убывает) на интервале и дифф-уема во всех его точках, то она на нем имеет максимум (минимум)".

-это неверное утверждение, как раз при таких условиях никаких экстремумов на интервале не будет. Рекомендую Вам перед решением задач выучить теорию, иначе толку тоже не будет.