Полнота пространства по заданной метрике

[discobot]

Не совсем понимаю как проверять полноту пространства по заданной метрике, и строить пополнение, в случае если оно не полно. Буду рад если кто-нибудь объяснит или кинет ссылку/название книги где можно почитать.

Примеров много, например такой: рациональные числа с метрикой $|\arctg(x)-\arctg(y)|$.


P.S. чисто теоретически, понимаю что можно доказывать не полноту находя какую-нибудь подходящую последовательность Коши, которая по такой метрике не сойдется, но опять же, даже это не совсем точно понимаю как делать.

[ewert]

discobot в сообщении #483766 писал(а):

как проверять полноту пространства по заданной метрике, и строить пополнение, в случае если оно не полно

Индивидуально.

discobot в сообщении #483766 писал(а):

Примеров много, например такой: рациональные числа с метрикой $|\arctg(x)-\arctg(y)|$.

Расширенная вещественная ось: $[-\infty;+\infty]$. Дело в том, что последовательность, фундаментальная в этой метрике, или ограничена (по отношению к обычной метрике, т.е. просто модулю разности), или нет. Если она ограничена, то на ней новая метрика эквивалентна стандартной, поэтому классы эквивалентности таких фундаментальных последовательностей порождают обычные вещественные числа. Если же последовательность не ограничена, то она при условии фундаментальности (в новом смысле) обязана стремиться в (в обычном смысле) к одной из бесконечностей, и любая такая последовательность в арктангенсовой метрике действительно фундаментальна. Естественно, расстояние от каждой из бесконечностей до любого другого числа определяется при этом формальным приписыванием $\arctg(\pm\infty)\equiv\pm\frac{\pi}{2}.$