Задача на кинематику

[NaOH]

Здравствуйте,
Помогите разобраться, где ошибка в решении.

Условие задачи:
К ползунку, который может перемещаться по направляющей рейке, прикреплён шнур, продетый через кольцо. Шнур выбирают со скоростью $v$. С какой скоростью $u$ движется ползун в момент, когда шнур составляет с направляющей угол $\alpha$.

Правильный ответ: $u = v/cos(\alpha)$

Моё решение:
Пусть ползунок сдвинется на бесконечно малое расстояние $\Delta l$ за время $\Delta t$,
тогда скорость вагонетки $u= \Delta l / \Delta t$
$AC = \Delta l$ и $BD \bot AD$
$AB - CB = v*dt$

$AB* cos(\alpha) - cos(\alpha) * CB = \Delta l$
отсюда мой ответ: $u = cos(\alpha) * v$ но он не верный, почему ?

убрал тег size и красное цветовыделение - это модераторский цвет. Рекомендую не использовать звездочку в качестве знака умножения - предпочтительнее \cdot или вообще его опускать //photon

[Himfizik]

Вы неаккуратно работаете с "дельтами". Если уж делаете приращение пути ползунка вдоль рейки, то приращение угла не забывайте также производить (а то у Вас оба косинуса своими аргументами содержат один и тот же угол, что неверно). Да и малостью дельт придется воспользоваться.
А вообще, без дифференциалов и прочих "малых" мира сего, рекомендую решить задачу в одно действие, предварительно посмотрев в разделе "Помогите решить/разобраться" на тему с названием "Очень простая (наверное) задача по кинематике". Те же ответы (кинематические связи), советы и ссылка на статьи.

[NaOH]

Himfizik в сообщении #483563 писал(а):

Вы неаккуратно работаете с "дельтами". Если уж делаете приращение пути ползунка вдоль рейки, то приращение угла не забывайте также производить (а то у Вас оба косинуса своими аргументами содержат один и тот же угол, что неверно). Да и малостью дельт придется воспользоваться.
А вообще, без дифференциалов и прочих "малых" мира сего, рекомендую решить задачу в одно действие, предварительно посмотрев в разделе "Помогите решить/разобраться" на тему с названием "Очень простая (наверное) задача по кинематике". Те же ответы (кинематические связи), советы и ссылка на статьи.

Тему нашёл, но статьи меня посмотреть не пускают, т.к я не из РФ. Решение в теме не понял. Что касается решения через производные, заменил я $AB* cos(\alpha) - cos(\alpha) * CB = \Delta l$ на $AB \cdot cos(\alpha) - cos(\alpha + \delta \alpha) \cdot CB = \Delta l$, и теперь задача кажется совсем нерешаемой. Помогите разобраться.

[Klad33]

Прекрасная задача! Сейчас дам решение...

Шатун смещается по горизонтали за время dt на величину

$ dL=h[ctg(\alpha)-ctg(\alpha+d\alpha)] $

где h=BD - высота кольца над плоскостью скольжения шатуна

За то же время веревка смещается на величину

$ dl=h[\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}]= v \cdot dt $

Следовательно, $ dt=\frac{h}{v}[\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}] $

Нам нужно определить скорость $\frac{dL}{dt}=\frac{h[ctg(\alpha)-ctg(\alpha+d\alpha)]}{\frac{h}{v}[\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}]}$

Осталось найти предел

$\lim \limits_{d \alpha=0}\frac{ctg(\alpha)-ctg(\alpha+d\alpha)}{\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}}= \frac {1}{cos(\alpha)} $

whiterussian:

Преупреждение за публикацию полного решения учебной задачи.

[NaOH]

Klad33 в сообщении #483609 писал(а):

Прекрасная задача! Сейчас дам решение...

Шатун смещается по горизонтали за время dt на величину

$ dL=h[ctg(\alpha)-ctg(\alpha+d\alpha)] $

где h=BD - высота кольца над плоскостью скольжения шатуна

За то же время веревка смещается на величину

$ dl=h[\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}]= v \cdot dt $

Следовательно, $ dt=\frac{h}{v}[\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}] $

Нам нужно определить скорость $\frac{dL}{dt}=\frac{h[ctg(\alpha)-ctg(\alpha+d\alpha)]}{\frac{h}{v}[\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}]}$

Осталось найти предел

$\lim \limits_{d \alpha=0}\frac{ctg(\alpha)-ctg(\alpha+d\alpha)}{\frac{1}{sin(\alpha)}-\frac{1}{sin(\alpha+d\alpha)}}= \frac {1}{cos(\alpha)} $

А почему предел в конце равен $1/cos(\alpha)$, а не 0 ?

[Klad33]

Такова уж математика.
Если упростить дробь предела, то будем иметь:

$\frac{cos(\frac{d\alpha}{2})}{cos(\frac{d\alpha}{2}+\alpha)}$

А предел этого выражения в уме вычисляется :)

[NaOH]

Klad33 в сообщении #483625 писал(а):

Такова уж математика.
Если упростить дробь предела, то будем иметь:

$\frac{cos(\frac{d\alpha}{2})}{cos(\frac{d\alpha}{2}+\alpha)}$

А предел этого выражения в уме вычисляется :)

Спасибо большое. Только теперь я не пойму, почему в моём случае, если поделить $\delta l$ на $\delta t$ и найти предел получится 0.

$AB \cdot cos(\alpha) - cos(\alpha + \delta \alpha) \cdot CB = \Delta l$ поделить на $AB - CB = v*dt$

Тоесть с математической точки зрения всё правильно, предел действительно равен 0, но вот оба выражения вроде составлены верно и ответ должен быть однозначным. Что я не учёл ?

[Klad33]

Тут просто намного тонкая работа. У меня эта тонкость учтена. Да и я по опыту знаю, что в вертикальном положении шатун движется просто с огромной скоростью, если минимизировать трение.
Вы не учли соотношение с неопределенностью типа бесконечность деленная на бесконечность. Предел эту неопределенность раскрывает.
Аккуратно пройдитесь по моим вычислениям и тогда будет ясно.

[fredy]

Точка А участвует в двух движениях:
1. вдоль AB со скоростью $\overrightarrow{v}$ (нить нерастяжима)
2. вращение вокруг точки B с некоторой скоростью $\overrightarrow{v_\perp}$
При этом $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v_\perp}=\overrightarrow{u}$ (*)

Проецируя (*) на направление AB, получим $v=u\cos(\alpha)$ , откуда $u=\frac{v}{\cos(\alpha)}$ .

[ewert]

Самый простой и абсолютно надёжный способ -- отметить на линии $AB$ отрезок $DB$ длины, равной длине $CB$ (т.е. взять в качестве точки $D$ пересечение прямой $AB$ и окружности с центром $B$ радиуса $|CB|$). Тогда $\frac{\Delta L}{\Delta l}=\frac{|AD|}{|AC|}$ (в числителе стоит перемещение нити, в знаменателе -- тележки). Однако треугольник $ADC$ при $\Delta l\to0$ стремится к прямоугольному (с прямым углом $D$). Поэтому $\frac{v}{u}=\lim\frac{(\Delta L/\Delta t)}{(\Delta l/\Delta t)}=\lim\frac{|AD|}{|AC|}=\cos\alpha,$ вот и всё.

[Himfizik]

NaOH в сообщении #483587 писал(а):

Тему нашёл, но статьи меня посмотреть не пускают, т.к я не из РФ. Решение в теме не понял. Что касается решения через производные, заменил я [...] на[...] , и теперь задача кажется совсем нерешаемой. Помогите разобраться.

Речь идет о достаточно понятных (в случае абсолютного твердого тела) утверждениях: 1) скорости, соприкасающихся в процессе движения тел, в точке соприкосновения в отсутствие проскальзывания совпадают, 2) при наличии проскальзывания совпадают только проекции скоростей тел на линию, перпендикулярную касательной в точке соприкосновения, 3) в случае связи (стержня, натянутой нити.., в общем случае отрезка, соединяющего точки $A$ и $B$) переменной длины верно следующее: $|v_{A ||}-v_{B||}|=u$, где $v_i ||$ - проекции скоростей точек $A$ и $B$ на связь, а $u$ - скорость изменения длины связи.
Вот и в Вашем случае кинематической связи, проецируя скорость ползунка на направление нити, можно получить только скорость вытягивания шнура.
Естественно можно и строже это получить, используя малые приращения, задействуя и котангенсы, и синусы, и что в голову взбредет , в принципе. Но тогда нужно аккуратно расписывать изменение функции при малых шевелениях ее аргумента, с последующим переходом к пределу, либо, что почти тоже самое, использовать простейшие геометрические рассуждения с предельным переходом, например, те, что привел ewert.

[ewert]

Ну если уж тупо через производные, то всё совсем банально напрашивается:

$l(t)=h\cdot\ctg\alpha(t),\qquad L(t)=\frac{h}{\sin\alpha(t)};$

$u=l'(t)=-\frac{h}{\sin^2\alpha}\cdot\alpha'(t),\quad v=L'(t)=-\frac{h\,\cos\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot\alpha'(t);$

$\frac{u}{v}=\frac{1}{\cos\alpha}.$

[Himfizik]

Ну да, можно еще, чтоб было похоже на попытку решения топикстартера, записать: $AB \sin\alpha=BC \sin (\alpha+d\alpha)$, что после раскрытия правого синуса и учета малости $d\alpha$ имеет вид: $AB\sin\alpha=BC (\sin \alpha+d\alpha \cos \alpha)$, но $AB-BC=v dt \Rightarrow v dt \sin \alpha=BC \cos \alpha d\alpha$. И затем, используя, например, теорему синусов: $BC/\sin \alpha=u dt/d\alpha$, приходим к $u=v/ \cos\alpha$.

[NaOH]

Спасибо большое всем за помощь!