Формула включений и исключений

[Whitaker]

Даны числа $1, 2, 3.$ Трехзначных чисел, которые можно составить из этиx цифр ровно $3^3=27$. Нужно найти количество трехзначных чисел в которых только $2$ различные цифры используя формулу включений и исключений.
$N(\bar{a}_1,\bar{a}_2,\bar{a}_3)=N-N(a_1)-N(a_2)-N(a_3)+N(a_1a_2)+N(a_1a_3)+N(a_2a_3)-N(a_1a_2a_3)$
где $a_1,a_2,a_3$ - некоторые свойства.
Что в данной задаче брать в качестве $a_1,a_2$ и $a_3$.
Подскажите пожалуйста. Никак не могу догадаться.

[Sonic86]

Для 3-хзначного числа $x_1x_2x_3$ в качестве $a_j$ можно было бы взять $x_i = x_k$, где $\{ i;j;k\} = \{ 1;2;3\}$.

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #483299 писал(а):

Для 3-хзначного числа $x_1x_2x_3$ в качестве $a_j$ можно было бы взять $x_i = x_k$, где $\{ i;j;k\} = \{ 1;2;3\}$.

Я имею ввиду какое свойство здесь должно быть?

-- Чт сен 15, 2011 16:52:23 --

А как это запишется? Я не совсем хорошо понял

-- Чт сен 15, 2011 16:55:56 --

А что будет означать тогда $N(a_1)$?

[bot]

Прочтите ещё раз сообщение Sonic'а - только внимательно и возьмите $j=1$. Что останется на роль $i, k$ и стало быть какие цифры надо считать одинаковыми для выполнения свойства $a_1$? Ну, а $N(a_1)$, наверно, и сами знаете - это количество чисел с этим свойством.

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #483310 писал(а):

А что будет означать тогда $N(a_1)$?

Ну вот это Вам и надо будет узнать Что такое $a_j$ уже написали. $N(a_j)$ - это число чисел $x_1x_2x_3$, для которых выполняется свойство $a_1$ (тут ничего делать как бы не надо: надо просто полученное прочесть на русском языке).

[Whitaker]

$N(a_1)$-количество трехзначных чисел $x_1x_2x_3$ у которых $x_2=x_3$

[bot]

Вот. И сколько их?

[Whitaker]

У меня получилось, что $N(a_1)+N(a_2)+N(a_3)=27$

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #483347 писал(а):

У меня получилось, что $N(a_1)+N(a_2)+N(a_3)=27$

Нееее. Всего 27 чисел.

Как связано то, что Вы ищете и $N(a_j)$?
Чему равно $N$?
Чему равно $N(a_1a_2a_3)$?
Чему равно $N(a_1a_2)$?

(Оффтоп)

for each s in S if(s is term){"Чему равно s?"}

[Whitaker]

То что мне нужно связано с $N(a_1)+N(a_2)+N(a_3)$ таким образом:
$N(a_1)+N(a_2)+N(a_3)-9$
У меня получилось, что $N(a_1a_2a_3)=3$
$N(a_1a_2)=3$

[Sonic86]

Ну правильно Подставляйте, находите $N(\bar a_1 \bar a_2 \bar a_3)$ и считайте то, что нужно.

Вообще дурацкое задание, по-моему. Искомую величину проще в лоб подсчитать.

[Whitaker]

Большое спасибо Вам за внимание уважаемый Sonic86.
Согласен с Вами Sonic86! В лоб-то посчитать легко! Но там есть задача более обощенного вида и там требуется формула включений и исключений. И мне просто хотелось узнать как в данной задаче используется формула включений.

[Whitaker]

Извините, а как решить с помощью формулы включений и исключений следующую задачу:
Сколько шестизначных чисел из цифр $1,2,3$ можно составить так чтобы в каждом числе было 3 различные цифры? Например числа $111122$ и $112221$ не подходят, а числа $112233$ и $121233$ подходят.

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #483407 писал(а):

Сколько шестизначных чисел из цифр $1,2,3$ можно составить так чтобы в каждом числе было 3 различные цифры? Например числа $111122$ и $112221$ не подходят, а числа $112233$ и $121233$ подходят.

Наверное так же и решать, $a_j$ те же, просто размерность увеличивается. Ну и неестественность подхода сохраняется Все величины в формуле считаете в лоб, потом подставляете и считаете то, что нужно.

[Whitaker]

Да понятно Sonic86.
Спасибо Вам большое!

-- Пт сен 16, 2011 15:00:16 --

Оказывается можно так еще:
$N(\bar {\bar{1}} \bar {\bar{2}} \bar {\bar{3}})=N-N(\bar 1)-N(\bar 2)-N(\bar 3)+N(\bar 1 \bar 2)+N(\bar 1 \bar 3)+N(\bar 2 \bar 3)-N(\bar 1 \bar 2 \bar 3)$
где
$N(\bar {\bar{1}} \bar {\bar{2}} \bar {\bar{3}})$ - количество чисел в записи которых есть цифры 1,2,3.