Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов

[farewe11]

Есть тут несколько вопросов по теории вероятностей, ответы на которые я не нашел в книгах. Эти вопросы - о самых простых определениях, но всё же... Вот:
1). При бросании одного кубика дисперсия кол-ва выпавших очков $x$ равняется $M(x^2) - M^2(x) = \frac{35}{12}$
Нужно найти дисперсию при бросании $n$ кубиков. Так вот вопрос: она будет равна $n\cdot\frac{35}{12}$ или $n^2\cdot\frac{35}{12}$? Второй вариант у меня получился в результате простой подстановки: вместо $x$ поставил $nx$ в выражение для дисперсии и привел к нормальному виду. Но, говорят, что это неверно, хотя я уже голову сломал, ища ошибочку в этом преобразовании.
2). Характеристическая функция. По определению она представляет собой это: $S_x (t) = M(e^{itx})$. Какой смысл этого определения, зачем нужна эта функция?
3). И последнее: как найти характеристическую функцию, зная плотность? В одних источниках сообщается, что так:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\cdot p(x) dx$$

где $p(x)$ - и есть плотность.
А в других источниках говорится, что на месте $p(x)$ должна быть функция распределения, а не плотность. А как найти Х.ф. по плотности - тактично умолчали.
Что же делать?

[ИСН]

1. Вместо $x$ нельзя $nx$, потому что все иксы разные.
2. Через неё что-то там потом удобно доказывается.
3. Именно так: под интегралом плотность.

[farewe11]

ИСН в сообщении #482999 писал(а):

1. Вместо нельзя , потому что все иксы разные.

Я понял. Значит, первый вариант правильный? Почему он правильный, т.е. как обосновать этот ответ?

[ИСН]

Ну а получили Вы его как?

[farewe11]

Да немного подумал и решил, что дисперсия вполне может обладать таким же свойством линейности, что и математическое ожидание. Даже если это, упаси Бог, правильно, доказать я это не могу - это только догадка.. В этом и заключается вопрос.

[_hum_]

1) случайная величина $S_n = \xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n$ в общем случае не эквивалентна с.в. $H_n = n \xi_1$ (в вашем случае это видно хотя бы из того, что $H_n$ может принимать только шесть различных значений, тогда как $S_n$ - шесть, помноженное на $n$). Потому у вас и разные ответы получаются, ибо находятся дисперсии разных с.в.

2) тут основная идея такая: х.ф. - это интеграл (по вероятности $\mathrm{dP}$) от гармонической функции ($e^{itx} = \cos(tx) + i\sin(tx)$). Из гармонических же функций, как известно, путем суммирования можно "сконструировать" практически все остальные, в том числе и индикаторную функцию $I_B$ любого события $B$, связанного с попаданием с.в. в интервал. А интеграл от $I_B$, как вы знаете, в точности совпадает с вероятностью события $B$. Таким образом, знание х.ф. позволяет полностью восстановить вероятности всех событий с.в. (можно считать, что х.ф. - это "разложенное по гармоникам" распределение вероятностей).

[farewe11]

_hum_ в сообщении #483043 писал(а):

ибо находятся дисперсии разных с.в.

Ну да. Я так и понял. Как тогда выразить дисперсию, например, для двух кубиков? давайте я попробую это прямо сейчас сделать, заменив $x$ на $x+y$, где $x, y$ - величины, равные кол-ву очков, выпавших на одном и втором кубиках.

$$D(x+y) = M((x+y)^2) - M^2 (x+y)$$

правильно начал? Продолжать?

-- Ср сен 14, 2011 18:56:42 --

_hum_ в сообщении #483043 писал(а):

знание х.ф. позволяет полностью восстановить вероятности всех событий с.в.

Спасибо :) вполне исчерпывающее объяснение.

[arseniiv]

farewe11 в сообщении #483049 писал(а):

правильно начал? Продолжать?

Продолжайте!

[farewe11]

Продолжим.
А как продолжать? Можно начать искать матожидание суммы очков на двух кубиках: $M(x+y)$, это будет длинная сумма дробей, с знаменателем 11. Просто дело в том, что если мы сделаем так, то не получим общего решения - для каждого $n$ нам придется повторять все эти операции заново.

Можно попытаться использовать это равенство: $M((x+y)^2) = M(x^2+2xy+y^2)$.. но опять-таки, это не поможет.
Что-то и не знаю, с чего начать-то...

[--mS--]

farewe11 в сообщении #482995 писал(а):

Есть тут несколько вопросов по теории вероятностей, ответы на которые я не нашел в книгах.

Интересно мне, что это за такие "книги" по теории вероятностей, где нет свойств математических ожиданий и дисперсий??? Давайте, Вы про них прочтёте в любом учебнике, и сразу же вопросы отпадут?

[farewe11]

В Феллере нашёл про дисперсию суммы.
Но вопросы все равно не отпали) вернее, ответы на них уже найдены, но не в книгах...

[ИСН]

Понимать ли это в том смысле, что Феллер - это не книга? Ну да, можно сказать, это больше, чем просто книга, это - КНИГА, божественное откровение...

-- Ср, 2011-09-14, 23:16 --

Но вообще-то ответ на любой математический вопрос человек может найти только сам. Ручкой на листе. Или так, или он его не нашёл. Книга тут может всего лишь дать совет. Лектор может всего лишь дать совет. Мы на форуме можем всего лишь дать совет.

[farewe11]

Слово "книга" не описывает в полной мере значимость Феллера. "Книжища" еще куда б ни шло...

Итак, ответ таков: дисперсия для $n$ кубиков равняется $n\cdot\frac{35}{12}$. Потому что кол-во очков на каждом кубике - независимая величина. Если бы они были зависимые, то пришлось бы еще к этому добавить удвоенную сумму ковариаций каждой из возможных пар случайных величин. У независимых СВ ковариации нулевые.

[--mS--]

farewe11 в сообщении #483118 писал(а):

В Феллере нашёл про дисперсию суммы.
Но вопросы все равно не отпали) вернее, ответы на них уже найдены, но не в книгах...

Может быть, стоит всё же взять для начала просто учебник по теории вероятностей? Феллер - это, конечно, чтиво увлекательное, но явно не для первого знакомства с предметом.

[ewert]

farewe11 в сообщении #483009 писал(а):

дисперсия вполне может обладать таким же свойством линейности, что и математическое ожидание.

Вообще говоря -- не может. Но для независимых величин -- таки обладает.

farewe11 в сообщении #483049 писал(а):

_hum_ в сообщении #483043 писал(а):

знание х.ф. позволяет полностью восстановить вероятности всех событий с.в.

Спасибо :) вполне исчерпывающее объяснение.

Это вообще не объяснение: сама плотность в этом смысле гораздо полезнее характеристической функции. Это лишь указание на то, что преобразование Фурье (а хар. функция -- это именно преобразование Фурье от плотности) обратимо. Намёк на исчерпывающее объяснение был тут:

ИСН в сообщении #482999 писал(а):

2. Через неё что-то там потом удобно доказывается.

В первую очередь: при сложении случайных величин их характеристические функции всего-навсего перемножаются, в то время как плотности -- свёртываются, что гораздо тяжелее.