Помогите доказать утверждение (комплексные числа).

[MathGo]

Собственно:
Докажите, что если $z+z^{-1}=2\cos\varphi$, то $z^{n}+z^{-n}=2\cos n\varphi$

[Sonic86]

Используйте формулу Муавра

[profrotter]

Есть три формы представления комплексного числа: алгебраическая $z=a+ib$, тригонометрическая $z=|z|(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$ и показательная. В последнем случае комплексное число представляется в виде: $z=|z|e^{i\varphi}$, где $|z|$ - модуль, $\varphi$ - аргумент комплексного числа.
Представив комплексное чило в показательной форме и рассматривая первое утверждение, вы, с учётом формулы Эйлера, с радостью обнаружите, что речь идёт о комплексных числах, модуль которых равен единице. То есть утверждение доказывается для чисел вида $z=e^{i\varphi}$. Теперь (с учётом той же формулы Элейра) легко проверяется выполнение второго равенства.

[nnosipov]

profrotter в сообщении #482493 писал(а):

... вы ... с радостью обнаружите, что речь идёт о комплексных числах, модуль которых равен единице ...

А вдруг $\varphi$ --- тоже комплексное число (ведь в условии не сказано, что $\varphi$ вещественно)? Тогда, вообще говоря, $|z| \neq 1$ А утверждение задачи будет верно и в этом случае.

[MathGo]

profrotter
Спасибо большое. Не додумался о том что $|z| = 1$

nnosipov
Согласен. И что тогда делать?

[Алексей К.]

MathGo в сообщении #482503 писал(а):

А вдруг $\varphi$ --- тоже комплексное число (ведь в условии не сказано, что $\varphi$ вещественно)?

А вдруг $n$ --- тоже комплексное число (ведь в условии не сказано, что $n$ целое)?

[profrotter]

nnosipov в сообщении #482502 писал(а):

А вдруг $\varphi$ --- тоже комплексное число (ведь в условии не сказано, что $\varphi$ вещественно)? Тогда, вообще говоря, $|z| \neq 1$ А утверждение задачи будет верно и в этом случае.

Да простая школьная задача и $\varphi$ действительное. (так обычно принимают по умолчанию)
Если упражняться по-вашему, то $z$ можно представить в виде $z=e^{\alpha}e^{i\beta}$, где $\varphi=\alpha+i\beta$, то есть обозначить $|z|=e^{\alpha}$, а $\beta$ - аргумент $z$ и доказательство аналогично.

[nnosipov]

Алексей К. в сообщении #482505 писал(а):

А вдруг $n$ --- тоже комплексное число

Тогда утверждение нужно как-то исправлять --- доказываемое равенство выглядит странно из-за многозначности левой части.

MathGo в сообщении #482503 писал(а):

И что тогда делать?

Например, вспомнить про теорему единственности для голоморфных функций (ограничимся всё же случаем натуральных $n$). Но это уже не школьный уровень.

-- Вт сен 13, 2011 00:31:12 --

profrotter в сообщении #482508 писал(а):

Если упражняться по-вашему, то $z$ можно представить в виде $z=e^{\alpha}e^{i\beta}$, где $\varphi=\alpha+i\beta$, то есть обозначить $|z|=e^{\alpha}$, а $\beta$ - аргумент $z$ и доказательство аналогично.

Можно и так, только с формулами нужно поаккуратнее.

[profrotter]

nnosipov в сообщении #482512 писал(а):

Можно и так, только с формулами нужно поаккуратнее.

Что не аккуратного?

Я со своей стороны подведу итог. Путь доказательства:
1. Исходное равенство рассматриваем, как уравнение относительно $z$ второй степени.
2. Решаем это уравнение.
3. Показываем, что корни этого уравнения удовлетворяют второму равенству.
Как мы будем решать уравнение - подбирать корни или прямым счётом - это уже детали. В случае комплесксного $\varphi$ будем иметь уравнение с комплексным коэффициентом.

[nnosipov]

profrotter в сообщении #482560 писал(а):

Что не аккуратного?

Если $z=e^\alpha e^{i\beta}$ и $\varphi=\alpha+i\beta$, то $z+z^{-1} \neq 2\cos{\varphi}$, т.е. Вы корень подобрали неаккуратно. А план решения вполне годится.

[profrotter]

nnosipov в сообщении #482583 писал(а):

Если $z=e^\alpha e^{i\beta}$ и $\varphi=\alpha+i\beta$, то $z+z^{-1} \neq 2\cos{\varphi}$, т.е. Вы корень подобрали неаккуратно. А план решения вполне годится.

Не пойму, где я ошибся?

$z+z^{-1}=e^{\alpha}e^{i\beta}+e^{-\alpha}e^{-i\beta}=2 \frac {e^{\alpha+i\beta}+e^{-(\alpha+i\beta)}} 2=2 \frac {e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}} 2=2\cos(\varphi)$

А понял!

$z+z^{-1}=e^{\alpha}e^{i\beta}+e^{-\alpha}e^{-i\beta}=2 \frac {e^{\alpha+i\beta}+e^{-(\alpha+i\beta)}} 2=2 \frac {e^{\varphi}+e^{-\varphi}} 2=2\ch(\varphi)$

[erwins]

$(z^{n}+z^{-n})\cdot(z+z^{-1})=(z^{n+1}+z^{-(n+1)})+(z^{n-1}+z^{-(n-1)}) == 2\cos(n\varphi)\cdot 2\cos(\varphi)=2\cos((n+1)\varphi)+2\cos((n-1)\varphi)$

Вообще не пользуемся что $z$ комплексное