Как решать такое уравнение? (как бы дифференциальное)

[alej]

$( \frac 1 {r} \int_{0}^{r} y(x)x dx + 2k)dr+ dy \frac 1 {y(r)} = 0 $

Возможно ли?

[Алексей К.]

Ну давайте сначала оставим в левой части $\int_{0}^{r} y(x)x dx =\ldots $, продифференцируем по $r$ и посмотрим, что получится.
О граничных условиях подумаем также.

[alej]

$r^2y^2+2y+y'(1-r)+y''r=0$
Спасибо, вот что вышло, если не ошибся..если честно, я пока плох в диффурах, и как учесть граничные условия не совсем понимаю.

[Алексей К.]

Нет, гораздо сложнее: $\int_{0}^{r} y(x)x dx =-2kr-r\dfrac{y'_r}{y}$, поэтому в дифф. уравнении $k$ должно присутствовать.
Я тоже не особо в них специалист, но мне кажется, это первое, что надо аккуратно проделать, прежде чем привлекать специалистов. Получается весьма неприятное дифф. уравнение. Продифференцируйте равенство без преобразований, левую и правую часть, посмотрим Вашу ошибку.

[Slip]

alej,

Мне кажется, более приятное уравнение получится есть взять за новую неизвестную функцию $Y(r)=\int\limits_0^ry(x)x\,dx$, тогда $y(r)=\frac{y'(r)}{r}$ и т.д. Дифур получится линейный второго порядка, но с переменными коэффициентами, но это уж всяко лучше чем исходное уравнение.

[alej]

Алексей К., извиняюсь, я забыл в начале константу к убрать (просто другие убрал чтоб не мешали)..но пусть тогда будет, вот $\dfrac {d}{dx} $ обеих частей (и предыдущее мое с ошибкой, я увидел) :
$(\int_{o}^{r} y(x)xdx)' = y_rr$ правильно?
$(-2kr-r\dfrac {y_r'}{y})' = -2k-\frac 1{y_r^2} [(y_r'+y_r''r)y-ry_r'^2]$

Slip в сообщении #482263 писал(а):

$y(r)=\frac{y'(r)}{r}$

Вы имели в виду $y(r)=\frac{Y'(r)}{r}$ ? Попробую.

[Slip]

alej в сообщении #482266 писал(а):

Вы имели в виду $y(r)=\frac{Y'(r)}{r}$ ?

Да, разумеется

[Алексей К.]

alej в сообщении #482266 писал(а):

$(\int_{o}^{r} y(x)xdx)' = y_rr$ правильно?

$\left(\int_{0}^{r} y(x)xdx\right)'_r = ry(r)$. Как сейчас помню,
"производнаяотинтегралапоеговерхнемупределуравназначениюподынтегральнойфункциинаверхнемпределе".

-- 11 сен 2011, 21:18 --

alej в сообщении #482266 писал(а):

$(-2kr-r\dfrac {y_r'}{y})' = -2k-\frac 1{y_r^2} [(y_r'+y_r''r)y-ry_r'^2]$

$\left(-2kr-r\dfrac {y_r'}{y}\right)_r' = -2k-\dfrac {y_r'}{y}-r\dfrac{y''y-{y'}^2}{y^2}$.

[ewert]

Slip в сообщении #482263 писал(а):

Дифур получится линейный второго порядка,

Ну как можно линейным преобразованием из нелинейного уравнения получить линейное?...