единственность eigendecomposition для матрицы многочленов

[spk]

Здравствуйте!

У меня возникла следующая проблема.
Пусть $\underset{l \times l}{A(x)}$ квадратная матрица многочленов степени не выше $m$ из $GF(q)[x]$, где $q$ - степень простого числа соответственно.
Пусть $x_i \in GF(q^r)$ ($r > 0$) - собственные числа матрицы $A(x)$: $\det(A(x_i)) = 0$. Пусть $\underset{l \times 1}{\mathbf{v}_{i,j}} \in (GF(q^r))^l$ правый собственный вектор, соответствующий $x_i$: $A(x_i) \cdot \mathbf{v}_{i,j} = \underset{l \times 1}{\mathbf{0}}$.
Как можно показать, что не существует такого вектора многочленов $\mathbf{c}(x) = \left( c_0(x), c_1(x), \ldots, c_{l-1}(x) \right)$, который не принадлежит $GF(q)[x]$-линейному пространству, порождаемому строками матрицы $A(x)$, и для которого для всех собственных чисел $x_i$ и им соответствующих правых векторов $\mathbf{v}_{i,J}$ выполнялось бы $\mathbf{c}(x_i) \cdot \mathbf{v}_{i,j} = 0$?
Верно ли это утверждение?

Хочется верить, что это действительно так. Тогда многочленных матриц во многом работает интуиция классической линейной алгебры.
Спасибо.

[Хорхе]

Абракадабра какая-то. Почему $GF(q)$ превратилось в $GF(q^r)$? Вместо "не принадлежит $GF(q)[x]$-линейному" следует читать "принадлежит $GF(q)$-линейному"? Термин "собственные числа" нестандартный?

[spk]

Здравствуйте!
Извините, за плохое изложение.

Я написал, что матрица многочленов (или матричный многочлен, если угодно). Элементы матрицы принадлежат $GF(q)$, а корни многочлена $det(A(x))$ принадлежат уже некоторому расширенному полю, $GF(q^r)$.
Далее, я рассматриваю матрицу многочленов как базис некоторого линейного пространства векторов многочленов, где скаляры - это многочлены из $GF(q)[x]$.
Термин "собственное число", да, нестандартный. В смысле, что это корень многочлена $det(A(x))$.

[Хорхе]

Понял. Пока, честно говоря, очень сложно представить, как выглядит это линейное пространство многочленов, где скаляры --- это многочлены. Иногда это будет вообще одномерное пространство, порожденное векторами, составленными из НОДов столбиков. Хотя, возможно, это и не нужно представлять.

[Joker_vD]

spk в сообщении #481147 писал(а):

базис некоторого линейного пространства векторов многочленов, где скаляры - это многочлены

Линейное пространство строят над полем. У вас же будет свободный модуль ранга $l$.

А нет, это если брать все векторы. Если брать вектор-строки матрицы и натягивать на них оболочку, то это будет подмодуль (тоже свободный) ранга, равного рангу матрицы.

[spk]

Joker_vD в сообщении #481163 писал(а):

Линейное пространство строят над полем. У вас же будет свободный модуль ранга $l$.

Вопрос терминологии. Модуль то же линейное пространство, но со скалярами из кольца.
Это, к сожалению, не по существу.

[Хорхе]

Ага, это просто неправильное утверждение. Пусть $l=1$, "матрица" -- $(x^2)$. Тогда единственное "собственное число" -- $0$, собственные векторы -- все. И есть вектор $(x)$, который удовлетворяет написанному, но его ну никак не выразишь через $(x^2)$.

Даже если потребовать, чтобы собственные числа не дублировались, я думаю, это неправда.

[spk]

Согласен.
Тогда надо добавить требование, что "собственное число" всегда ненулевое, нетривиальное

[Kallikanzarid]

spk
Поскольку многочлены не являются кольцом с делением, то не каждый конечно порожденный модуль над ними - свободный, уже это говорит о больших различиях с векторными пространствами.