Чётность кусочной функции (Мордкович 9кл. 18.40)

[dnoskov]

Задача гласит:

Доопределите функцию $f(x)$ так, чтобы она стала чётной:

$$f(x)=\begin{cases} x^2-\sqrt{3-x}, & \text{при } x<0,\\ &\text{при } x \geqslant 0. \end{cases}$$

Всё, вроде, ясно. Функция имеет два куска, причём один - меньше нуля, другой - больше или равно. Т.е. имеем раскрытие модуля. Т.о. полная функция может выглядеть так (наверное): $f(x)=x^2-\sqrt{3-|x|}$. Для этой функции:

$$f(-x)=\begin{cases} x^2-\sqrt{3+x}, &\text{при } -x<0,\\ x^2-\sqrt{3-x}, &\text{при } -x\geqslant 0; \end{cases} = \begin{cases} x^2-\sqrt{3-x}, &\text{при } x\leqslant 0,\\ x^2-\sqrt{3+x}, &\text{при } x>0; \end{cases}$$

... и вроде всё хорошо. Но меня растерзало разнаисмутнейшее сомнение. Верно ли будет далее написать "$=f(x)$" и признать т.о. чётность функции, ведь условия-то, хоть и эквивалентны и смысл в них тот же, что и у исходных, но строго-то они не совпадают? Или для этого конкретного случая (а также для множества похожих), можно так написать, т.к. смысл всего выражения не изменится? Или так можно писать вообще, т.к. совсем правильно было бы выделить третий случай для $x=0$ и тогда написать ещё "$f(x)=\sqrt{3}, \text{ при } x=0$", после чего, вопрос о том, какие два условия объединять $x<0$ и $x=0$ или $x>0$ и $x=0$ и объединять ли их вообще можно было бы решить в любую сторону и в этом не было бы никакой разницы?

[ИСН]

Функция - это соответствие значений аргументам, а не способ записи. $(-1)^n,\,n\in\mathbb N$ и $\cos\pi x,\,x\in\mathbb N$ - это одна и та же функция.

[dnoskov]

ИСН
Ясно. Спасибо!