Аксиоматика для тернарной операции и группы

[STilda]

Введем в рассмотрение "тернарную группу" (Т-группу) по таким аксиомам:
Множество $G$ с тернарной операцией $*$ называется Т-группой если
1) Существует нейтральный элемент $e$ что для любого $a$ из $G$ верно $e*e*a=a$
2) Наличие обратных элементов для любого $a$ существует $b,c$ такие что $a*b*c=e$
3) Для любых трех $a,b,c$ существует $d$ такой, что $a*b*c=d$
4) Ассоциативность и коммутативность.

Примеры
1) Т-Группа из одного элемента имеет одно уравнение $e*e*e=e$
2) Т-группа из двух элементов. Всевозможных кобинаций взаимодействий четыре: $a*a*a$, $a*a*b$, $a*b*b$, $b*b*b$. Каждому взаимодействию соответствует либо $a$ либо $b$ в результате. Задача - найти непротиворечивые наборы.
Допустим единицей есть $a*a*a=a$. Тогда $a*a*b=b$, $a*b*b=a$, $b*b*b=b$

[arseniiv]

Если уж вы вводите такое в рассмотрение, естественнее было бы начать с не обязательно коммутативного случая. И потом,

STilda в сообщении #479923 писал(а):

Для любых трех $a,b,c$ существует $d$ такой, что $a*b*c=d$

это-то зачем? В аксиомах группы с бинарной операцией такого нет.

А что вы понимаете под ассоциативностью, $(a*b*c)*d*e = a*(b*c*d)*e = a*b*(c*d*e)$ или что-то другое?

[Руст]

Если вводите тернарную операцию, то лучше записать $abc*$ или $f(a,b,c)$ для результата применения на трех элементах. Понятие коммутативности и ассоциативности так же требует уточнения. Обычно коммутативность определяется как $abc*=acb*=bac*=bca*=cab*=cba*$, т.е результат не меняется при любых перестановках из трех элементов. Понятие ассоциативности по идее так же требует равенства для всех порядков применения тернарной операции на длинном выражении и требует явного выписывания этих тождеств.

[bnovikov]

В книге Куроша "Общая алгебра", 1974 (не "Лекции по общей алгебре"!!!) в параграфе 8 определены $n$-арные группы и показано, как они сводятся к бинарным (теорема Поста).

[AlexDem]

Интересно, а можно ли предложить какую-нибудь оценку порядка минимальной группы $G$, которая определяла бы данную $n$-группу $B$? Как минимум, если $B$ - конечна, ведь $G$ будет конечной?

[bot]

Не всякая n-группа определяется группой, гарантируется лишь её вложимость в определяемую. При этом конечная n-группа вкладывается в конечную определяемую. Поскольку определяемость означает задание n-арной операции через бинарную на том же самом множестве, то определяющая группа в таком случае разумеется будет конечной.

-- Сб сен 03, 2011 23:38:57 --

Кстати, аналога единицы в n-группе нет.

[STilda]

arseniiv в сообщении #479934 писал(а):

STilda в сообщении #479923 писал(а):

Для любых трех $a,b,c$ существует $d$ такой, что $a*b*c=d$

это-то зачем? В аксиомах группы с бинарной операцией такого нет.

Это означает что операция действует из ... в $G$.

Коммутативность означает что любые перестановки в произведении равнозначны.
Ассоциативность означает что выражение $a*b*c*d*e$ можно вычислять в любой последовательности, группируя что угодно с чем угодно. Результат будет тот же.

Ну вообще идея постулировать только тернарность операции и то что элемента только два. Из оперирования - коммутативность, ассоциативность, и можно подставлять вместо одного равное ему. На основе этого выписать все непротиворечивые системы равенств. Например система
$a*a*a=b$
$b*b*b=a$
$a*a*b=a$
$a*b*b=b$
что куда не подставляй, не противоречивая.
Зато интересно, умножив первые два получим $(a*b)*(a*b)*(a*b)=(a*b)$, и из последних двух имеем $a*(a*b)=a, (a*b)*b=b$. Тоесть $a*b$ ведет себя как единица. Но это не элемент множества. Это скорее функция на множестве.

[arseniiv]

STilda в сообщении #480095 писал(а):

Это означает что операция действует из ... в $G$.

Так это должно следовать прямо из определения операции. То что она из $G^n$ в $G$ действует.

[bnovikov]

AlexDem в сообщении #480005 писал(а):

Интересно, а можно ли предложить какую-нибудь оценку порядка минимальной группы , которая определяла бы данную -группу ? Как минимум, если - конечна, ведь будет конечной?

Если я не ошибаюсь, то ее порядок равен $(n-1)|B|$. Подробности - в книге Гальмак А.М. "n-Арные группы" (она есть в Интернете).

[lavex]

STilda в сообщении #480095 писал(а):

Ну вообще идея постулировать только тернарность операции и то что элемента только два. Из оперирования - коммутативность, ассоциативность, и можно подставлять вместо одного равное ему. На основе этого выписать все непротиворечивые системы равенств. Например система
$a*a*a=b$
$b*b*b=a$
$a*a*b=a$
$a*b*b=b$
что куда не подставляй, не противоречивая.
Зато интересно, умножив первые два получим $(a*b)*(a*b)*(a*b)=(a*b)$, и из последних двух имеем $a*(a*b)=a, (a*b)*b=b$. Тоесть $a*b$ ведет себя как единица. Но это не элемент множества. Это скорее функция на множестве.

Вообще-то именно этот пример содержится в

bnovikov в сообщении #479950 писал(а):

книге Куроша "Общая алгебра", 1974 (не "Лекции по общей алгебре"!!!) в параграфе 8