Кольцо

[dovlato]

Тонкое жёсткое кольцо скатывается с горы без проскальзывания и без какого-либо тормозящего трения.
Плотность вещества кольца $\rho$ , прочностный порог механической напряжённости вещества $p$.
Оценить высоту горы $h$, при которой кольцо разорвётся.

[ewert]

Ну и что? Надо просто пересчитать высоту в угловую скорость и потом проинтегрировать центробежную силу по полукольцу. В чём подвох-то?

[dovlato]

Я - человек абсолютно без подвоха..как, кстати, и природа). Просто задача, без задних мыслей.
Но желательно получить формулу (кстати, очень простую) без интегралов - задача всё же для школьников.

[ewert]

dovlato в сообщении #479896 писал(а):

без интегралов

Можно и без интегралов (явных) -- по той же идее, по которой Архимед считал площадь сферы.

[dovlato]

У меня получилось равенство $p=\rho gh$. Не сомневаюсь, что для профессоров задача технических трудностей не представляет - я же её для школьников адресую. Но мне вот что показалось любопытно - формула получилась совпадающей с архимедовым давлением для жидкостей (!?).
В подобных случаях странных совпадений невольно задумываешься - то ли это случайное совпадение, то ли ты тут, возясь с привычной математической ерундой, проходишь мимо какого-то простого физического соображения.

[ewert]

dovlato в сообщении #479913 писал(а):

У меня получилось равенство $p=\rho gh$.

Да.

dovlato в сообщении #479913 писал(а):

то ли это случайное совпадение, то ли

Скорее всего, случайное. То, что $p=C\cdot\rho gh$, где $C$ -- константа, которая ни от чего не зависит (и в любом случае порядка единицы), следует просто из соображений размерности. А вот то, что она равна в точности единице, вряд ли можно получить без честного счёта.

[dovlato]

Ну да, размерность мощное средство..Правда, для меня - слегка мистическое (напоминает скатерть-самобранку - всё почти за тебя делает))).

[anik]

dovlato в сообщении #479913 писал(а):

У меня получилось равенство $p=\rho gh$. Не сомневаюсь, что для профессоров задача технических трудностей не представляет - я же её для школьников адресую. Но мне вот что показалось любопытно - формула получилась совпадающей с архимедовым давлением для жидкостей (!?).
В подобных случаях странных совпадений невольно задумываешься - то ли это случайное совпадение, то ли ты тут, возясь с привычной математической ерундой, проходишь мимо какого-то простого физического соображения.

Вопрос поставлен интересный.
Рассмотрим тонкое жёсткое кольцо, катящееся по плоскости, и выясним, какая часть кинетической энергии кольца связана с его вращательным, а какая - с его поступательным движениями.
Кинетическая энергия вращательного движения $K_\omega =mV^2_\omega/2.$ Кинетическая энергия поступательного движения равна $K_v = mV^2_v/2.$ Но, линейная скорость $V_\omega$ точек окружности, в их вращательном движении вокруг центра, равна линейной скорости $V_v$ движения ц.м. тонкого кольца в его поступательном движении. Таким образом, мы приходим к выводу, что кинетические энергии вращательного и поступательного движений для тонкого кольца, катящегося по плоскости, равны между собой. Этот факт достоин того, чтобы его запомнить!
Теперь, рассмотрим кольцо, катящееся (не с горы) с наклонной плоскости.
На высоте $h$ кольцо обладало потенциальной энергией $mgh.$ Если пренебречь трением, то после того, как кольцо спустится с высоты $h,$ его полная кинетическая энергия будет равна той потенциальной, которой кольцо обладало на высоте $h,$ т.е. $mgh.$ С вращательным движением кольца будет связана только половина этой полной энергии. (Если кольцо катилось без скольжения).
Центробежная сила, разрывающая кольцо, связана именно с вращательной кинетической энергией кольца. Найдём её.

$$F=mV^2 /R,$$

$$ K_\omega=mV^2 /2=mgh /2,$$

$$mV^2=mgh$$

Отсюда

$$F=mgh/R$$

Теперь найдем тангенциальные (окружные) напряжения разрывающие кольцо.
Центробежную силу, действующую на кольцо, можно представить как гидростатическое давление, действующее на кольцевой элемент трубы диаметром $R$ с единичной длиной. Разделим этот кольцевой элемент осевым сечением по диаметру кольца, и рассчитаем силы гидростатического давления, действующие в этом диаметральном сечении. Для этого нужно давление (равное центробежной силе) помножить на площадь диаметрального сечения. Эта площадь равна $2Rlб$ где $l=1$ - длина кольцевого элемента. Тогда сила, разрывающая половинки кольца, будет равна: $P=2RF=2mgh.$ Этой силе противостоят два сечения материала самого кольца. Вообще, кольцо окажется под действием растягивающей силы в сечении равной: $P=mgh.$
Связь между силой в сечении кольца и архимедовым давлением для жидкости – в следующем сообщении.

[anik]

anik в сообщении #546061 писал(а):

Центробежная сила, разрывающая кольцо, связана именно с вращательной кинетической энергией кольца. Найдём её.

$$F=mV^2 /R,$$

$$ K_\omega=mV^2 /2=mgh /2,$$

$$mV^2=mgh$$

Отсюда

$$F=mgh/R$$

Теперь найдем тангенциальные (окружные) напряжения разрывающие кольцо.
Центробежную силу, действующую на кольцо, можно представить как гидростатическое давление, действующее на кольцевой элемент трубы диаметром $R$ с единичной длиной. Разделим этот кольцевой элемент осевым сечением по диаметру кольца, и рассчитаем силы гидростатического давления, действующие в этом диаметральном сечении. Для этого нужно давление (равное центробежной силе) помножить на площадь диаметрального сечения. Эта площадь равна $2Rlб$ где $l=1$ - длина кольцевого элемента. Тогда сила, разрывающая половинки кольца, будет равна: $P=2RF=2mgh.$ Этой силе противостоят два сечения материала самого кольца. Вообще, кольцо окажется под действием растягивающей силы в сечении равной: $P=mgh.$
Связь между силой в сечении кольца и архимедовым давлением для жидкости – в следующем сообщении.

Ошибка! Прошу прощения. Здесь везде вместо $m$ должно быть $\rho.$ Надо было говорить не о массе кольца, а о массе элемента кольца.