Нерешаемая задача

[Keter]

Задача: точки $A, B, C, D$ лежат на одной окружности с центром О. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке E. Окружности, описанные вокруг треугольников $AEC$ и $BED$ пересекаются в точках $E$ и $P$. Доказать, что точки $A, D, P, O$ принадлежат одной окружности.

Можете проверить, но это всегда так и при внешнем пересечении прямых.
Как её доказать???!

[nnosipov]

Keter в сообщении #478604 писал(а):

Как её доказать???!

Её --- это кого (или что)? Если речь о том, чтобы доказать сформулированное утверждение, то это несложно и вполне решаемо (как средствами геометрии, так и средствами алгебры, в этой ситуации вполне годящимися, например, для быстрой проверки корректности утверждения).

[Keter]

nnosipov в сообщении #478684 писал(а):

Keter в сообщении #478604 писал(а):

Как её доказать???!

Её --- это кого (или что)? Если речь о том, чтобы доказать сформулированное утверждение, то это несложно и вполне решаемо (как средствами геометрии, так и средствами алгебры, в этой ситуации вполне годящимися, например, для быстрой проверки корректности утверждения).

Так попробуйте - докажите!

[nnosipov]

Keter в сообщении #478685 писал(а):

Так попробуйте - докажите!

Э, нет, пробовать должны Вы, раз Вы это разместили в соответствующем разделе. А вообще, эти штуки проверять совершенно скучно, разве что в порядке медитации.

[Keter]

nnosipov в сообщении #478690 писал(а):

Keter в сообщении #478685 писал(а):

Так попробуйте - докажите!

Э, нет, пробовать должны Вы, раз Вы это разместили в соответствующем разделе. А вообще, эти штуки проверять совершенно скучно, разве что в порядке медитации.

Просто я уже 4 день сижу над этой задачей, абсолютно никакого продвижения: куча подобных треугольников, которые ничего не дают, углы - тоже. Убрать прямые. Так есть 4 окружности, я целую теорию составил:

Если есть три окружности, которые пересекают друг друга в двух точках, то обязательно найдется четвертая окружность, которая будет проходить через центр одной их трех окружностей, и через три точки в которых каждая из трех окружностей пересекает другую.

Но как это доказать, хотя бы какой метод применить?

[arseniiv]

Вы можете воспользоваться свойствами хорд и секущих, проходящих через $A$, $D$, $P$ и $O$. Может, их тут использовать просто окажется.

-- Пн авг 29, 2011 23:25:10 --

А ещё вы можете найти центры окружностей, описанных вокруг двух разных треугольников с вершинами в этих точках и доказать, что эти центры — одна и та же точка.

[gris]

Я обычно в подобных задачах начинаю фантазировать: а каково было бы моё последнее предложение, оканчивающееся словами "..., а отсюда следует, что эти точки лежат на одной окружности".
Может быть, такое: "это является достаточным признаком того, что около этого четырёхугольника можно описать окружность". Или другое.

[Keter]

ВОТ наверное как можно упростить эту задачу:

Доказать, что четыре точки лежат на окружности.

[arseniiv]

Э нет, задача такого общего вида труднее вашей — у вас есть ограничения на расположение точек, а в предыдущей задаче нет. Смотрите, вам уже три способа предложили! (Причём третий, наверно, проще всех.)

[Keter]

arseniiv в сообщении #478753 писал(а):

Э нет, задача такого общего вида труднее вашей — у вас есть ограничения на расположение точек, а в предыдущей задаче нет. Смотрите, вам уже три способа предложили! (Причём третий, наверно, проще всех.)

Дело в том, что если я не решу эту задачу до 10 часов завтрашнего дня, то все пропало))

Эта олимпиадная задача. Ну я не вижу никакой закономерности в этих точках. Разбросаны и все)

[arseniiv]

Вам ещё и свойства четырёхугольника, вокруг которого можно описать окружность, на блюдечке подать?

Любой учебник писал(а):

Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°.
У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон.

Совет grisа довольно действенный. Так действуйте, и снизойдёт на вас озарение.

[Keter]

arseniiv в сообщении #478774 писал(а):

Вам ещё и свойства четырёхугольника, вокруг которого можно описать окружность, на блюдечке подать?

Любой учебник писал(а):

Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°.
У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон.

Если Вы думаете, что я этого не знал, то напрасно. Вы подумайте, как это можно использовать в этой задаче? Ответ: Никак. Так как углы все разные(ну частные случаи мы не рассматриваем). Ну, о произведении длин сторон я вообще молчу)))

[Student92]

Воспользуйтесь слудующими фактами:
1) углы, опирающиеся на равные хорды окружности равны или дополняют друг друга до 180.
2) Центральный угол, опирающийся на данную хорду в два раза больше угла на окружности, опирающегося на данную хорду.
3) Если для двух точек C и D, лежащих по одну сторону от отрезка [A;B] угол ACB равен углу ADB, то эти четыре точки лежат на одной окружности.
4) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Использование этих фактов поможет решить задачу. Не забудьте разобрать все случаи

[Keter]

Если для двух точек C и D, лежащих по одну сторону от отрезка [A;B] угол ACB равен углу ADB, то эти четыре точки лежат на одной окружности.

Как это доказать???

[Student92]

Ну, например, по теореме синусов для треугольников АВС и АВD. Радиусы описанных окружностей равны, а центры лежат на срединном перпендикуляре к [А;В] по одну сторону от прямой (А;В). Значит центры совпадают.