Еще ряды

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #478437 писал(а):

$|\frac{1}{[e^{2k}] + 1} + \frac{1}{[e^{2k}] + 2} + ... + \frac{1}{[e^{2k + 1}]}|<\dfrac{[e^{2k+1}]-[e^{2k}]}{[e^{2k}]}$

Ну с другой стороны оценка же. Другой знак там.
Про предел. Даже не важно чему он равен, просто покажите, что это не 0

-- Пн авг 29, 2011 10:52:03 --

Whitaker в сообщении #478449 писал(а):

Покажите, что общий член данного ряда не стремится к нулю.

Как это не стремится?

[Whitaker]

$\dfrac{1}{[e^{k-1}]+1}+...+\dfrac{1}{[e^k]}>\dfrac{[e^k]-[e^{k-1}]}{[e^k]}=1-\dfrac{[e^{k-1}]}{[e^k]} \rightarrow 1-\dfrac{1}{e}, k \to \infty$.
Эта величина никогда не будет в окрестности нуля.

[SpBTimes]

Whitaker
А, это вы про преобразованный ряд.

[Whitaker]

SpBTimes в сообщении #478508 писал(а):

Whitaker
А, это вы про преобразованный ряд.

Ну да.

[integral2009]

Оценка
$|\frac{1}{[e^{2k}] + 1} + \frac{1}{[e^{2k}] + 2} + ... + \frac{1}{[e^{2k + 1}]}|<\dfrac{[e^{2k+1}]-[e^{2k}]}{[e^{2k}]}$

$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{[e^{2k+1}]-[e^{2k}]}{[e^{2k}]}=\lim\limits_{k\to\infty}\Big(\dfrac{[e^{2k}e]}{[e^{2k}]}-1\Big)?$

У меня есть несколько вариантов как считать предел.
Не знаю -- какой правильный.

1) $\lim\limits_{k\to\infty}\Big(\dfrac{[e^{2k}e]}{[e^{2k}]}-1\Big)=\lim\limits_{k\to\infty}\Big(\dfrac{e[e^{2k}]}{[e^{2k}]}-1\Big)=e-1$

2) $\lim\limits_{k\to\infty}\Big(\dfrac{[e^{2k}]\cdot[e]}{[e^{2k}]}-1\Big)=\lim\limits_{k\to\infty}\Big(\dfrac{e[e^{2k}]}{[e^{2k}]}-1\Big)=[e]-1=1$

3) $\lim\limits_{k\to\infty}\Big(\Big[\dfrac{e^{2k}e}{e^{2k}}\Big]-1\Big)=[e]-1=1$

[Whitaker]

Если Вы думаете, что равенство $[a \cdot b]=[a] \cdot [b]$ имеет место, то Вы ошибаетесь.

[integral2009]

Основные трудности возникают с операцией взятия целой части)

А такое равенство может иметь место? $[a\cdot b]=a\cdot[b]$ Подозреваю, что нет. А как тогда считать предел?

При такой операции $[\ln [e^{2k}+1]]$ Взятие целой части дважды не может ли нарушить четность числа при определенных $k$?

Как я понял -- по критерии Коши ряд расходится, так как предел не равен нулю.

[SpBTimes]

Да, ряд расходится.
А предел $\lim\limits_{k \to \infty} \frac{[e^{2k+1}]}{[e^{2k}]} = [e] = 2$, если мне не изменяет интуиция

-- Пн авг 29, 2011 18:30:38 --

Имеет место следующее неравенство $[a\cdot b] \geqslant [a]\cdot[b]$
По определению предела можете доказать

[Whitaker]

Воспользуйтесь тем, что: $[x] \leq x < [x]+1$

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478662 писал(а):

Да, ряд расходится.
А предел $\lim\limits_{k \to \infty} \frac{[e^{2k+1}]}{[e^{2k}]} = [e] = 2$, если мне не изменяет интуиция

Тогда вы воспользовались свойством, про которое писал Whitaker.

Whitaker в сообщении #478653 писал(а):

Если Вы думаете, что равенство $[a \cdot b]=[a] \cdot [b]$ имеет место, то Вы ошибаетесь.

[SpBTimes]

Если оценить, как говорит Whitaker, возни меньше.

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478677 писал(а):

Если оценить, как говорит Whitaker, возни меньше.

Спасибо, ясно)

-- Пн авг 29, 2011 19:35:30 --

ewert в сообщении #478482 писал(а):

Это какая-то подозрительная группировка и не уверен, что она буквально верна; во всяком случае, не нужна она точно. Нужно вот что. Очевидно, что числитель знакопостоянен (т.е. тождественно равен или плюс единичке, или минус единичке) на любом участке вида $n\in[e^k+2;e^{k+1}-2]$, где $k$ -- целое, а двойки добавлены для надёжности, чтобы не возиться с нюансами. Пусть для определённости $k$ чётное (хоть это и непринципиально), т.е. рассмотрим участки с гарантированной положительностью членов. На каждом таком участке сумма членов оценивается снизу через соответствующий интеграл, который считается явно и на выходе стремится к единице при $k\to\infty$. Т.е. не стремится к нулю, т.е. нарушается условие критерия Коши.

Хочется попробовать сделать таким способом! Пока что не очевидно -- в чем заключается надежность добавлениЯ $+2$ и $-2$.

$\sum\limits_{n_1}^{n_2}\dfrac{(-1)^{[\ln(n)]}}{n}=\sum\limits_{n_1=[e^k+2]}^{n_2=[e^{k+1}-2]}\dfrac{(-1)^{[\ln(n)]}}{n}=\sum\limits_{n_1=[e^{2k}+2]}^{n_2=[e^{{2k}+1}-2]}\dfrac{1}{n}-\sum\limits_{n_1=[e^{2k-1}+2]}^{n_2=[e^{{2k-1}+1}-2]}\dfrac{1}{n}$

Судя по всему нужно взять такой интеграл будет $\int\limits_1^{\infty}\dfrac{1}{e^x}dx=-\Big(\dfrac{1}{e^x}\Big)\Big|_1^\infty=1$

Такой ли интеграл ?