решить уравнение с радикалами

[elka-elle]

помогите. никак не могу справиться. уже и заменой пробовала. но только усложняю все.
заранее спасибо.

$ \sqrt {\frac{ \sqrt{x^2+66^2}+x} x} - \sqrt {x \sqrt {x^2+66^2} -x^2 } = 5 $

[ИСН]

Левый ужасный корень обозначить за новую переменную. Правый ужасный корень выражается через него. Понять сложно. А выражается просто.

[elka-elle]

ИСН в сообщении #478079 писал(а):

Левый ужасный корень обозначить за новую переменную. Правый ужасный корень выражается через него. Понять сложно. А выражается просто.

допустим первый ужасный корень это Y, тогда второй все равно получается с иксом. и никак не решается. или я что-то не так понимаю?

[Sender]

А вы взгляните на подкоренные выражения первого и второго корня. Может, они чем-то похожи?

[elka-elle]

Sender в сообщении #478849 писал(а):

А вы взгляните на подкоренные выражения первого и второго корня. Может, они чем-то похожи?

похожи. не спорю. но трудность вызывает то, что в первом корне просто X, а во втором уже $X^2$

[Sender]

elka-elle в сообщении #478850 писал(а):

похожи. не спорю. но трудность вызывает то, что в первом корне просто X, а во втором уже $X^2$

Зато во втором имеется X перед внутренним корнем.

[gris]

++Sender

Часто при поиске решения помогает насильственное приведение различных выражений к общему виду. Вот Вы заметили, что в левом корне просто $x$, а в правом $x^2$. Сделаем шажок к сближению. В первом корне умножим и числитель и знаменатель на $x\neq 0$. Можно внести $x$ и во внутренний корень.
Получим

$ \sqrt {\dfrac{ \sqrt{x^4+66^2x^2}+x^2} {x^2}} - \sqrt {\sqrt {x^4+66^2x^2} -x^2 } = 5 $

Уже заметны сумма и разность двух выражений (под корнями). Может быть это натолкнёт на последующие преобразования. Ведь сумму и разность так и хочется перемножить . Ну а когда это стало заметным, можно вернуться и сделать замену. Иногда полезно вводить две новые переменные и поискать связь между ними.
Ну а в конце просто запомнить приёмчик и в дальнейшем иметь его в виду.

[ewert]

ИСН в сообщении #478079 писал(а):

Правый ужасный корень выражается через него. Понять сложно. А выражается просто.

Гораздо проще понять другое -- что произведение этих корней есть константа. Поэтому надо просто обозначить первый корень через $u$, второй через $v$ и решать полученную простенькую системку.

[elka-elle]

спасибо всем за помощь.
решила системой.
ответ получился $ \dfrac {66} {\sqrt {119}} $

[ewert]

Эх, ещё бы 11-надцатку не забыть и ещё раз учесть при сокращениях...