сходимость кратного интеграла

[Pavel26]

Помогите разобраться. Требуется исследовать на сходимость интеграл $ \iint\limits_{G}^{} \frac{dxdy}{(1-x^2-y^2)^{\alpha}} , G=\{\ \sqrt{x} + \sqrt{y} <1 \}$

мое решение:
переходим в полярные координаты и получаем $ \iint\limits_{G}^{} \frac{rdrd\varphi}{(1-r^2)^{\alpha}} , G=\{ r (\sin\varphi +\cos\varphi) <1 \ r\ge0\}$ область выглядит так

$\varphi$ изменяется в пределах $ 0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ проблемные точки $r=1$ интеграл обращается в бесконечность (тут я немного не разберусь область интегрирования включает в себя точку $r=1$ или нет, и тут же у меня возник вопрос в каких пределах изменяется r , в $0\le r<1$ ?, как это показать формально?). В итоге интеграл сходиться при $2\alpha -1 < 1$ и $ \alpha<1 $. Мой ответ не сходиться с ответом из задачника ( я догадываюсь что у меня куча ошибок, задача взята из Кудрявцева 3 том 215 задача, хочу обратить внимание на то, что 214 задача похожа на 215, только область немного другая в виде треугольника , но опять же похожа на область в 215-ой задаче. А ответы различны.)

[SpBTimes]

вам бы лучше для своей области подобрать адекватное исчерпывающее множество, чтобы всё свелось к исследованию обычного интеграла.

[AlexValk]

1. Вы напутали с областью $G$ в полярных координатах. То что Вы написали соответствует $G=\{x+y<1\}$

2. Ограничение $r<1$ нетрудно получить, но это не очень нужно. Оно возникает как побочный продукт действительно нужного неравенства на функцию $g(\varphi)$ (см. ниже.).

3. Причина неверного ответа у Вас в том, что оценка сходимости интеграла сделана Вами только по $r$ - не принимая во внимание переменную $\varphi$. Фактически это значит, что Вы заменили область интегрирования $G$ на $\{0\leq r\leq 1\}$ - четверть круга и получили для нее правильный ответ - сравните с задачей 211.3. Других принципиальных ошибок у Вас нет.

Если делать по вашей схеме, то план такой:
а) Запишите область $G$ в виде $\{r<g(\varphi)\}$. Посмотрите какое возникает ограничение на $g(\varphi)$ сверху.
б) Вычисляете интеграл по $r$ в предела $r\in[0;g(\varphi)]$ (случай $\alpha=1$ придется писать отдельно).
в) Анализируйте сходимость интеграла по $\varphi$ используя тейлоровское разложение $g(\varphi)$ в окрестности особых точек подынтегрального выражения (их две будет).

В результате получите условие на сходимость $\frac{\alpha-1}{2}<1$, а не $2\alpha-1<1$.

4. Тот факт, что в другой задаче - 214 - с той же подынтегральной функцией, но иной областью $G$ ответ другой, объясняется тем, что там будет другая функция $g(\varphi)$. Т.е. первый шаг - интегрирование по $r$ будет в задачах 215 и 214 тот же самый, а вот второй - интегрирование по $\varphi$ будет отличаться.

[Pavel26]

Большое спасибо!!! во всем разобрался