Рекуррентная последовательность

[Leox]

Как подступиться к нахождению общего члена последовательности заданной соотношениями

$$ f_{{2}}=(1+{s}^{2})C_{{2}}-3\,C_{{0}}, f_n= (1+s^2)^{\dfrac{n}{2}}\int \! (n+1)\, \frac{f_{n-1}}{ (1+s^2)^{\frac{n+2}{2}} } ds+C_n (1+s^2)^{\dfrac{n}{2}}. $$

Неопределенный интеграл берется без константы, $C_0, C_2,\ldots, C_n$ -- константы.
Несколько первых членов можно вычислить

$$ f_3= -4\,s \left( 2\,(1+{s}^{2})+1 \right) C_{{0}}+4\,s \left( {s}^{2}+1 \right) C_{{2}}+ \left( {s}^{2}+1 \right) ^{3/2}C_{{3}}, \\ \\ \displaystyle f_4=5\, \left( 4\,{s}^{2}+5 \right) C_{{0}}-10\, \left( 1+{s}^{2} \right) C_{{2}}+5\,s \left( 1+{s}^{2} \right) ^{3/2}C_{{3}}+ \left( 1+{s}^{2} \right) ^{2}C_{{4}}, \\ \\ f_5=6\,s \left( 4\,{s}^{2}+5 \right) ^{2}C_{{0}}-20\,s \left( 2\,{s}^{2}+3 \right) \left( 1+{s}^{2} \right) C_{{2}}-15\, \left( 1+{s}^{2} \right) ^{3/2}C_{{3}}+6\,s \left( 1+{s}^{2} \right) ^{2}C_{{4}}+ \left( 1+{s}^{2} \right) ^{5/2}C_{{5}}, $$

Но вот общего выражения для $f_n$ пока не удается получить.

[bnovikov]

Для начала сделайте замену $g_n=\frac{f_n}{(1+s^2)^{n/2}}$.

[Leox]

Сделал, но принципиального упрощения пока не получается

[bnovikov]

Leox в сообщении #477896 писал(а):

Сделал, но принципиального упрощения пока не получается

Теперь выпишите несколько первых членов, чтобы заметить закономерность (если удастся).