Чуть-чуть групповой анализ и алгебры Ли

[Oleg Zubelevich]

Это следует из того, что диффеоморфизмом тора одно из векторных полей приводится к виду $(1,\omega)$. (Поскольку уже доказано, что поля имеют инвариантную меру)

-- Ср авг 03, 2011 17:36:29 --

Пусть $v=(1,\omega),\quad u=(u^1,u^2)(x),\quad [u,v]=c_1u+c_2v$ причем по условию $c_1^2+c_2^2\ne 0$
Имеем

$$\frac{\partial u^1}{\partial x^1}+\omega\frac{\partial u^1}{\partial x^2}=c_1u^1+c_2,\quad \frac{\partial u^2}{\partial x^1}+\omega\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=c_1u^2+\omega c_2$$

Беря операцию усреднения по тору, обозначим ее $<\cdot>$, от левой и правой части каждого равенства, получаем

$$c_1< u^1>+c_2=0,\quad c_1< u^2>+\omega c_2=0.$$

Поэтому определитель

$$\left|\begin{array}{cc}< u^1> & 1 \\< u^2> &\omega \end{array} \right|=0$$

Это тоже самое, что

$$<\left|\begin{array}{cc} u^1(x) & 1 \\ u^2(x) &\omega \end{array} \right|>=0$$

Раз среднее от функции равно нулю, то сама функция равна нулю хотябы в одной точке.

[scwec]

Oleg Zubelevich, что Вы имели ввиду "Поскольку уже доказано..."?

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #472435 писал(а):

Конечно $X_1,X_2$ те, которые мы только что рассмотрели. Можно доказать, что $B(X_1,X_2)$ - алгебра Ли над $R$ и все поля из нее интегрируются в квадратурах. Более того, $B(X_1,X_2)$ совпадает с алгеброй Ли гамильтоновых полей на $U$, сохраняющих форму $f{\omega^1}\wedge{\omega^2}$.

ну на торе поля будут наверное всетаки локально гамильтоновами, но инвариантная форма всеравно останенся? Я правда там за выкладками не следил особенно.

-- Ср авг 03, 2011 19:57:16 --

а, да, эта форма не обязана быть определена на торе глобально

[scwec]

Oleg Zubelevich, очень бы хотелось считать это доказательством, и идея нравится. Но ведь $\Omega$ на торе не обязана быть точной. Не лучше ли перейти в плоскость и рассмотреть периодические поля. Такое доказательство у меня есть, только длинновато. Подумайте, если желание будет.

[scwec]

Доказательство Oleg Zubelevich можно спасти, но для этого нужно превратить несущий 2-тор алгебры Ли полей $X_1,X_2$ в некоммутативную группу Ли (в предположении, что $X_1,X_2$ всюду линейно независимы). Если это будет сделано, то, поскольку полученная группа компактна, на ней будет существовать двусторонне инвариантная мера Хаара, и после этого теорему А.Н.Колмогорова можно применять.
Но все дело в том, что структуру группы Ли еще надо определить и не забыть, что теорема А.Н. Колмогорова требует аналитичности объектов.
После этого и подумаешь, не лучше ли доказывать, используя аппарат, развитый в данной теме?

[scwec]

Привожу доказательство о линейной зависимости(в некоторой области) векторных полей, порождающих двумерную некоммутативную алгебру Ли на двумерном торе.
Оно основывается на следующем критерии:
Вещественная конечномерная алгебра Ли $g^n$ тогда и только тогда является алгеброй Ли некоторой компактной группы Ли, когда на ней существует инвариантная положительно пределенная квадратичная форма $f$ (инвариантность означает $f(X,[Y,Z])=f([X,Y],Z); X,Y,Z\in{g^n}$).
Доказываем, что двумерный тор не может быть несущим многообразием для некоммутативной группы Ли.
Предположим противное.
Положим $n=2$,$[X_1,X_2]={c_1}{X_1}+{c_2}{X_2}\ne{0}$, $X_1,X_2\in{g^2}$ Тогда в соответствие с критерием $f(X_1,[X_2,X_2])=f([X_1,X_2],X_2)=0\qquad(1)$; $f(X_2,[X_1,X_1])=f([X_2,X_1],X_1)=0\qquad(2)$. Умножая $(1)$ на $c_2$, $(2)$ на $-c_1$ и складывая эти равенства, получаем $f([X_1,X_2],{c_1}{X_1}+{c_2}{X_2})=f([X_1,X_2],[X_1,X_2])=0$, что противоречит положительной определенности $f$. Завершение доказательства базируется на следующем общем утверждении:
Если на многообразии $M^n$ заданы $n$ линейно независимых векторных полей, линейные комбинации которых порождают алгебру Ли $g^n$ над $\mathbb{R}$ и все поля нестеснены на $M^n$ (например когда $M^n$ компактно), то $M^n$ диффеоморфно несущему многообразию группы Ли, соответствующей алгебре $g^n$, которое профакторизовано по некоторой дискретной подгруппе.
Поскольку по доказанному выше двумерный тор не может быть несущим многообразием некоммутативной группы Ли, то он не может нести на себе пару линейно независимых полей, порождающих некоммутативную алгебру Ли. Доказательство завершено.

Вопрос. Возможно ли, чтобы на двумерном цилиндре $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$ существовали два линейно независимых векторных поля, порождающие двумерную некоммутативную алгебру Ли. Доказательство для тора не проходит. В нем существенно используется компактность.

[scwec]

Вот ещё очень короткое доказательство того, что двумерный тор не может быть несущим многообразием неабелевой группы Ли $G$. Э. Картан доказал, что группа когомологий де Рама $H^3(G)\ne{0}$, если $G$ - неабелева компактная связная группа Ли. Отсюда сразу следует, что $Dim(G)>2$.
Вопрос с двумерным цилиндром остается.

[scwec]

Вот схема доказательства того, что несущее многообразие вещественной, связной, неабелевой группы Ли $G^2$ не может быть 2-тором и 2-цилиндром.
1. Все двумерные неабелевы алгебры Ли $g^2$ изоморфны.
2. Соответствующие группы Ли локально изоморфны.
3. Универсальная накрывающая для них единственна с точностью до изоморфизма.
Теперь достаточно выбрать неабелеву группу Ли с несущим многообразием $\mathbb{R}^2$ и доказать, что ее центр тривиален(содержит только единицу). Тогда дискретных подгрупп, по которым можно факторизовать $G^2$, кроме единицы, не существует.
Введем на $\mathbb{R}^2$ групповую операцию: пусть $a=(x_a,y_a),b=(x_b,y_b), a+b=(x_a+x_b,y_a+e^{kx_a}y_b)$, где $k$ определяется из $[X_1,X_2]=kX_1$,и $X_1,X_2$ - базис cсоответствующей алгебры Ли. Легко видеть, что в центре только $(0,0)$.
Доказательство закончено.