интеграл, тригонометрическая подстановка

[vlanik10]

Пытаюсь взять интеграл $\[ \int {x^2 \sqrt {a^2 + x^2 } } dx \] $ Сделал подстановку $\[ x = atgt \] $
Удалось взять с переменной t, но когда возвращаюсь к x, возникает проблема со слагаемым $\[ \ln \left| {\tg(\frac{t}{2} + \frac{\pi }{4})} \right| \] $
После применения формулы суммы углов тангенса, пробовал применять формулы половинного аргумента $\[ \tg\frac{t}{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos t}}{{1 + \cos t}}} \] $ и $\[ \frac{{\sin t}}{{1 + \cos t}} \] $
Затем использовал формулы косинуса ( синуса) с аргументами арктангенса. В итоге мое преобразование данного слагаемого не сходится с преобразованием в ответе ( $\[ \ln \left| {x + \sqrt {x^2 + a^2 } } \right| \] $

Подскажите, пожалуйста, какие необходимо делать преобразования в данном логарифме.

[Sonic86]

$x = a \sh t$ вроде помогает.

[vlanik10]

Sonic86
Спасибо, действительно с этой подстановкой получилось. Но все-таки хотелось бы понять как избавиться от подстановки тангенса. В теории задачника написано, что подстановки $x=a sht$ и $x=a tgt$ равнозначны.

[ewert]

vlanik10 в сообщении #477186 писал(а):

равнозначны.

Они действительно равнозначны в том смысле, что и та, и другая позволяет получить ответ в принципе. А вот насколько легко будет ответ получаться и в насколько удобоваримой форме -- зависит от ситуации. Конкретно в данном случае: с гиперболическим синусом получается довольно просто, а с тангенсом -- лучше, пожалуй, не надо (хотя в принципе и можно).

[AssemblerIA64]

Сначала как делали Вы: тангенс суммы, $\tg(t/2) = \frac {\sin(t)} {1 + \cos(t)}$, формулы косинуса (синуса) с аргументами арктангенса.
Получится $\ln \left \lvert \frac {1 + x/a + \sqrt{1 + x^2/a^2}} {1 - x/a + \sqrt{1 + x^2/a^2}}\right \rvert$. Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю: $(1 - x/a) - \sqrt{1 + x^2/a^2}$. После раскрытия скобок и упрощений: $\ln \lvert {x + \sqrt{a^2 + x^2}} \rvert - \ln \lvert a\rvert $. А $\ln \lvert a\rvert$ - константа.