Пробная функция Ляпунова

[alisa-lebovski]

Существует ли такая функция $\varphi: (0,+\infty)\to (0,+\infty)$, что для любого $p>1$ при всех достаточно малых $\alpha>0$ и некотором $\varepsilon>0$ выполнено

$$\int_0^{+\infty}\varphi(1-e^{-px})\frac{x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-x}\,dx\le\varphi(\alpha)-\varepsilon,$$

а при остальных $\alpha$ интеграл конечен?

Надеялась, что подойдет минус логарифм, но численно непохоже.

[Gortaur]

Возможно, было бы полезнее, если бы Вы дали немного вероятностной мотивации. Задача выглядит как поиск супергармонической функции для некоторого Марковского процесса - сбивает лишь только аргумент у $\varphi$.

При его замене на $y$ получается интеграл вида

$$ \int\limits_0^1\varphi(y)f(\alpha,y)\,dy\leq\varphi(\alpha)-\varepsilon, $$

что усиливает подозрения, но ясности не вносит. Степенные функции пробовали?

[alisa-lebovski]

Вероятностная мотивация такая: имеется цепь Маркова $X_n=1-e^{-p\xi_n}$, где $\xi_n$ имеет гамма-распределение с параметром формы $X_{n-1}$ и параметром масштаба 1. Понятно, что она колеблется между 0 и 1. К 1 она сходиться не может, т.к. при подстановке 1 получается невырожденное распределение. Но может сходиться к 0 асимптотически. Хотелось бы проверить, что этого не происходит. Тогда существует стационарное распределение. Для этого надо проверить критерий эргодичности: ${\bf M}(\varphi(X_n)|X_{n-1}=\alpha)-\varphi(\alpha)\le -\varepsilon$ при всех достаточно малых $\alpha$. Это называется условие Ляпунова, а $\varphi$ - пробная функция Ляпунова.

Я полагаю, что функция должна стремиться в нуле к бесконечности, так что если и брать степенные, то отрицательной степени, а это не упрощает интеграл. Он тогда вообще может расходиться.

[Vince Diesel]

Если в условии речь идет о существовании некоторого интервала по $a$ для каждого фиксированного $p$, то подойдет функция $\varphi(x)=\ln\ln\frac1{1-x}$. Интеграл для нее равен $\psi(a)+\ln p$, где $\psi$ - дигамма функция. Для малых $a>0$ асимптотика $\psi(a)=-a^{-1}+O(1)$, a $\varphi(a)=\ln a+O(1)$.


ЗЫ Не подойтет, не учел неотрицательность.

[Gortaur]

alisa-lebovski
А можно ссылку на литературу по поводу критерия эргодичности и условию Ляпунова? Не могу понять, на $\varphi$ единственное условие - $\mathsf E[\varphi(X_n)|X_{n-1} = \alpha]-\varphi(\alpha)\leq-\varepsilon$, или есть другие условия?

Кстати, по идее же для каждого $p>1$ может быть отдельная функция - не обязательно искать общую?

[alisa-lebovski]

Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. Глава 1, параграф 4.
Функция должна быть неотрицательной. Да, для каждого $p$, в принципе, может быть своя, хотя это странно. Может быть, и $p$ надо взять не больше 1, а еще больше.

[Gortaur]

alisa-lebovski
Спасибо.