Метод простой итерации

[Fgolm]

Имеется система линейных алгебраических уравнений:

$AX = F$. (1)

Для ее решения можно воспользоваться итерационным процессом:

$X^{\left( {k + 1} \right)} = B \cdot X^{\left( k \right)} + G$. (2)

Существует
Теорема 1: Для сходимости процесса последовательных приближений (2) при любом начальном векторе $X^{\left( 0 \right)} $ необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы $B$ были бы по модулю меньше единицы.

Допустим, что ситуация складывается следующим образом. Вместо (2) имеется:

$D \cdot X^{\left( {k + 1} \right)} = B \cdot X^{\left( k \right)} + G$, (3)

где $D$ - диагональная матрица с различными положительными элементами;
квадратная матрица $B$ - удовлетворяет теореме 1.
Но при этом матрица $D^{ - 1} \cdot B$ не удовлетворяет теореме 1. Таким образом, получается, что процесс (3) сходится, а процесс (2) для матрицы $D^{ - 1} \cdot B$ - нет.
Что можно тут предпринять?

[RIP]

Fgolm писал(а):

Таким образом, получается, что процесс (3) сходится, а процесс (2) для матрицы $D^{ - 1} \cdot B$ - нет.

А это почему? Процесс (3) ведь почти ничем не отличается от процесса (2), только вместо матриц $B,G$ теперь $D^{-1}B,D^{-1}G$.

[Fgolm]

А это почему? Процесс (3) ведь почти ничем не отличается от процесса (2), только вместо матриц $B,G$ теперь $D^{-1}B,D^{-1}G$.[/quote]

Матрица $D^{-1}B не удовлетворяет условим сходимости, то есть теореме 1

[RIP]

А почему процесс (3) сходится? Это дано? Или утверждается, что он обязательно сходится (что неверно)?

[Fgolm]

Я немного некорректно сформулировал.
Имеется в виду следующее:
Если от (3) перейти (просто переобозначив) к

$\tilde X^{\left( {k + 1} \right)} = B \cdot \tilde X^{\left( k \right)} + G$,

где $B$ удовлетворяет теореме о сходимости, то получится сходящийся процесс, в результате которого получим некоторый вектор ${\tilde X}$.
Этот вектор, конечно, не совпадает с решением системы (1).
Вопрос, теперь, в том можно ли от него каким-либо образом перейти к решениию $X$ системы (1). И вообще как поступить?

[RIP]

Fgolm писал(а):

Я немного некорректно сформулировал.
Имеется в виду следующее:
Если от (3) перейти (просто переобозначив) к

$\tilde X^{\left( {k + 1} \right)} = B \cdot \tilde X^{\left( k \right)} + G$,

где $B$ удовлетворяет теореме о сходимости, то получится сходящийся процесс, в результате которого получим некоторый вектор ${\tilde X}$.
Этот вектор, конечно, не совпадает с решением системы (1).
Вопрос, теперь, в том можно ли от него каким-либо образом перейти к решениию $X$ системы (1). И вообще как поступить?

При $D\ne Id$ этот процесс не имеет никакого отношения к процессу (3) и к задаче (1), которая может и не иметь решений.

P.S. Мое 500-е сообщение. Вот это я нафлудил!

[Fgolm]

В моем случае система (1) имеет решение.

[RIP]

Ну вот смотрите, Вам надо решить систему

$$DX=BX+G\qquad\Leftrightarrow\qquad (D-B)X=G$$

Вы решили систему

$$\tilde{X}=B\tilde X+G\qquad\Leftrightarrow\qquad (I-B)\tilde X=G$$

Лично я не вижу способа из решения второй системы получить решение первой.