Упростить выражение номер 1.092 из Сканави

[Aero111]

$(\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{x}}{1-\sqrt{x}}+\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}})^2+(1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x})^{\frac{-1}{2}} $



Моя попытка решения:

(Оффтоп)

Заменим $ \sqrt[4]{x}$ на $a$:
$(\frac{a^3-a}{1-a^2}+\frac{1+a^2}{a})^2+(1+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^4})^{\frac{-1}{2}} $

Выносим в числителе первой дроби $a$ за скобки, а в знаменателе $-1$ и производим сокращение:
$(\frac{a(a^2-1)}{(-1)(a^2-1)}+\frac{1+a^2}{a})^2+(1+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^4})^{\frac{-1}{2}} $

$(-a+\frac{1+a^2}{a})^2+(1+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^4})^{\frac{-1}{2}} $

Приводим к общему знаменателю выражение в первой скобке и производим сложение:
$(\frac{-a^2+1+a^2}{a})^2+(1+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^4})^{\frac{-1}{2}} $


$(\frac{1}{a^2})+(1+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^4})^{\frac{-1}{2}} $

Приводим к общему знаменателю и производим сложение во второй скобке:
$\frac{1}{a^2}+(\frac{a^4+2a^2+1}{a^4})^{\frac{-1}{2}} $

$\frac{1}{a^2}+(\frac{(a^2+1)^2}{a^4})^{\frac{-1}{2}} $

Возводим выражение во второй скобке в степень:

$\frac{1}{a^2}+\frac{a^2}{a^2+1} $



Складываем дроби:
$\frac{a^2+1+a^4}{a^2(a^2+1)}$



Производим замену $a$ на $\sqrt[4]{x}$:
$\frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

Согласно списку ответов в конце книги, должно получиться:


$\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}$

[gris]

Достаточно подставить $x=16$, чтобы убедиться, что в книге ответ не к этому выражению. А у Вас всё правильно.

Хотя можно подойти конспирологически: предположить, что скобки не складываются, а перемножаются. Просто знак $\times$ накренился и стал плюсом.

То есть условие таково: $(\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{x}}{1-\sqrt{x}}+\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}})^2\times (1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x})^{\frac{-1}{2}}$

Тогда ответ в книге верный. Видно, наборщики были нетрезвы

[Aero111]

Благодарю.

[Whitaker]

gris в сообщении #476386 писал(а):

Тогда ответ в книге верный. Видно, наборщики были нетрезвы

[gris]

В дополнение. Чисто формалистическое.

Обычно в подобных задачах ответ очень простой, так как почти всё сокращается. Но при этом области определения начального и конечного выражений не совпадают.

У ТС в ответ можно подставить $x=1$, у Сканави $x=0$ и получить некоторое число. Однако, первоначальное выражение при этих значениях не определено.

Если бы эту задачу предложили на экзамене, то я бы на всякий случай оговорил, при каких значениях $x$ эти преобразования корректны.

[Gortaur]

gris
Такие оговорки следует делать независимо от экзамена. Столько нервов и ошибок сбережет в дальнейшем.