Предел матрицы А^n

[sasha_vertreter]

Добрый день

Подскажите пожалуйста, где можно прочитать про "пределы матриц", то есть мне нужно найти

$\lim\limits_{n \to \infty} A^n$, где $A^n$ - квадратная матрица.

(мне нужно только понять где об этом написано)

Спасибо!

[Kallikanzarid]

sasha_vertreter
Любой учебник по функциональному анализу, может и в учебнике по линейной алгебре что-нибудь найдете.

-- Ср авг 17, 2011 15:54:31 --

Суть проста: на алгебре (непрерывных, в конечномерном случае это выполняется автоматически) линейных операторов $L(U, V)$ нужно ввести норму, обычно она определяется как $\|A\|_{L(U, V)} := \sup_{\|x\|_U = 1}\|Ax\|_V$. Квадратные матрицы - суть линейные операторы из $L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$, норму там можете взять, какую захотите - они все эквивалентны. Евклидова хорошо подойдет.

Ну а предел - это предел :) $B = \lim_{n \to \infty}B_n$, если $\lim_{n \to \infty}\|B_n - B\| = 0$. Конкретно в вашем случае ($B_n = A^n$) для сходимости достаточно, чтобы $\|B\| \leq \lambda < 1$.

[ИСН]

Находим собственные числа, дальше ясно.

[Kallikanzarid]

ИСН в сообщении #475817 писал(а):

Находим собственные числа, дальше ясно.

Мне неясно

[ewert]

Что именно неясно? Если все собственные числа по модулю меньше единицы, то предел равен, естественно, нулевой матрице. В остальных случаях конечный предел будет тогда и только тогда, когда есть собственное число, равное единице (возможно, кратное, и тогда ему не должны соответствовать нетривиальные жордановы клетки), а все остальные по модулю меньше единицы. Тогда пределом будет проектор (вообще говоря, не ортогональный) на соответствующее собственное подпространство.

[Kallikanzarid]

ewert
Ок, начинаю понимать :)

[sasha_vertreter]

ewert в сообщении #475850 писал(а):

Что именно неясно? Если все собственные числа по модулю меньше единицы, то предел равен, естественно, нулевой матрице. В остальных случаях конечный предел будет тогда и только тогда, когда есть собственное число, равное единице (возможно, кратное, и тогда ему не должны соответствовать нетривиальные жордановы клетки), а все остальные по модулю меньше единицы. Тогда пределом будет проектор (вообще говоря, не ортогональный) на соответствующее собственное подпространство.

а можно пожалуйста ссылку на учебник, где вот так вот это можно прочитать?

[PAV]

Где почитать не скажу, но это все из жордановой формы матрицы легко следует

[sasha_vertreter]

ewert в сообщении #475850 писал(а):

Что именно неясно? Если все собственные числа по модулю меньше единицы, то предел равен, естественно, нулевой матрице. В остальных случаях конечный предел будет тогда и только тогда, когда есть собственное число, равное единице (возможно, кратное, и тогда ему не должны соответствовать нетривиальные жордановы клетки), а все остальные по модулю меньше единицы. Тогда пределом будет проектор (вообще говоря, не ортогональный) на соответствующее собственное подпространство.

а Вы могли бы подсказать учебник?

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #476797 писал(а):

а Вы могли бы подсказать учебник?

Я лично -- тоже не смог бы. Это весьма частный вопрос, и мало кому сам по себе интересный. Который достаточно мгновенно следует, да, из жорданова представления. Если хотите -- погуглите на слова "спектральный радиус", они некоторое отношение к делу имеют; но -- тоже довольно косвенное, это тоже из пушек как бы по воробьям.

[wagant]

sasha_vertreter в сообщении #476797 писал(а):

а Вы могли бы подсказать учебник?

Я рекомендую очень понятный текст по методу сопряженных градиентов и там есть хорошая глава о собственных векторах, описывающая этот момент.