Сходимость по норме L^2

[give_up]

Как можно доказать, что из равномерной сходимости $\[\left\{ {{f_n}(x)} \right\}\]$ к $f(x)$ на $[a,b]$, где $\[f(x),\left\{ {{f_n}(x)} \right\}\]$ непрерывные функции следует сходимость $\[\left\{ {{f_n}(x)} \right\}\]$ к $f(x)$ по норме $\[{L^2}\]$? Если я правильно понимаю, то нужно доказать, что из $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\mathop {\sup }\limits_{x \in [a,b]} |{f_n}(x) - f(x)| = 0\]$ следует $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,\int\limits_a^b | {f_n}(x) - f(x){|^2}dx = 0\]$. Не знаю с чего начать...

[Someone]

give_up в сообщении #475205 писал(а):

Не знаю с чего начать...

Пусть задано произвольное $\varepsilon>0$...

[give_up]

Someone
слишком туманно.

[Gortaur]

give_up
Непрерывность. Интегрируемость. Интеграл от функции меньше чем. А максимум разности функций меньше чем. Потому что равномерная сходимость.