2D уравнение Гельмгольца в двух граничащих полупространствах

[Antennas to Heaven]

Господа, безуспешно пытаюсь найти ф-ию Грина ур-я Гельмгольца для двух сред с разной проницаемостью. Собственно, уравнение такое:
$(\Delta+k^2)E=\delta(\vec{r}-\vec{r'}), y>0$
$(\Delta+\varepsilon k^2)E=\delta(\vec{r}-\vec{r'}), y<0, \vec{r}\in R^2$
E - скаляр, r', скорее всего, находится как раз на границе сред.
В какую сторону копать, чтобы это решить?

[AlexValk]

К Antennas to Heaven:

Приведу кратко (потребуется - напишу подробнее) два подхода работающие в ситуациях, когда источник не на границе. Впрочем, у меня есть подозрение что ответ будет применим и при положении источника на границе. Если -- нет, то, по крайней мере найдя 2 ответа для источников в первой или во второй среде и "посмотрев'' на них, можно будет подумать и про вид решения для источника на границе.

1. Метод отражений.
2. Преобразования Фурье (по переменной вдоль границы).

Некоторые подробности обоих методов можно посмотреть, например, в книге Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн, 1979. (глава XII, параграфы 4 и 5) - там, правда рассматривается 3-х мерный случай.

[Vince Diesel]

Тут еще само фундаментальное решение уравнение Гельмгольца выражается через цилиндрические функции. Так что и функция Грина, скорее всего, через них выражается.