Множество рациональных чисел не полно

[ean]

Привет, скажите правильно ли я доказываю, что множество рациональных чисел не полно. Делаю я это в два шага:

1. рассматриваю два множества рациональных чисел чьи квадраты больше 2 и меньше двух, предполагаю существование такого рационального числа, что оно больше любого элемента одного множества и меньше любого элемента другого. Нахожу что это число корень из двух
2. показываю, что корень из двух не является рациональным числом

Верно?

[ИСН]

Как-то так, да.

[ean]

ИСН в сообщении #474374 писал(а):

Как-то так, да.

Спасибо. А могу ли я теперь сказать, что взяв множество рациональных точек с отрезка $[0,1]$, можно для каждой точки из этого отрезка построить интервал, который не содержит других рациональных точек?
Как я понимаю, отрицание аксиомы полноты приводит нас к тому, что существуют такие рациональные точки между которыми нельзя вклинить еще одну.
Или может быть с другой стороны взять именно такие точки, но как потом показать, что их бесконечно много в $[0,1]$?
В конечном итоге я хочу показать, что для рациональных точек не выполняется лемма Бореля-Лебега.

[Someone]

ean в сообщении #474381 писал(а):

А могу ли я теперь сказать, что взяв множество рациональных точек с отрезка $[0,1]$, можно для каждой точки из этого отрезка построить интервал, который не содержит других рациональных точек?

Ну постройте.

ean в сообщении #474381 писал(а):

Как я понимаю, отрицание аксиомы полноты приводит нас к тому, что существуют такие рациональные точки между которыми нельзя вклинить еще одну.

Ну, предположим, $r_1$ и $r_2$ - две рациональные точки. Положим $r=\frac 12(r_1+r_2)$. Является ли точка $r$ рациональной и где она лежит (по отношению к точкам $r_1$ и $r_2$)?

[ean]

Someone в сообщении #474396 писал(а):

Ну постройте.

Я бы построил, но не могу обосновать, что такие существуют.

Someone в сообщении #474396 писал(а):

Ну, предположим, $r_1$ и $r_2$ - две рациональные точки. Положим $r=\frac 12(r_1+r_2)$. Является ли точка $r$ рациональной и где она лежит (по отношению к точкам $r_1$ и $r_2$)?

Да, простите, глупость сказал.

[Someone]

ean в сообщении #474432 писал(а):

Я бы построил, но не могу обосновать, что такие существуют.

Ваше построение и будет обоснованием.