Найти отображение: вещ. число - в подмножество N

[xmaister]

Пусть $P=\{X:X\subseteq\mathbb{N}\}$. Найти $f:\mathbb{R}\rightarrow P$, такое что, $f(a)\subset f(b)$, если $a<b$.

[gris]

А $f(a)\subset f(b)$ строгое вложение? Тогда разве может такое быть?

[xmaister]

Да, вложение там строгое.

[gris]

Множество подмножеств натуральных чисел равномощно с множеством действительных чисел.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

gris в сообщении #474332 писал(а):

Ну тогда хотя бы $X$ бесконечное. Ну то есть само множество натуральных чисел. Множество его подмножеств равномощно с множеством действительных чисел.

А у него $P$ и есть множество всех подмножеств $\mathbb N$. He? Насчет равномощности я чего-то не совсем понял...

-- Пн авг 08, 2011 16:17:20 --

xmaister
Рассмотрите двоичное разложение числа $r$ из открытого интервала $(0,1)$, при этом надо заменить конечные дроби эквивалентными бесконечными периодическими. Затем найдите соответствующее ему $(r)$ подмножество из $\mathbb N$ (то есть элемент из $X$).

[Someone]

Я правильно понял, что $P$ - это множество всех подмножеств натурального ряда? Тогда задачка совсем простенькая, надо только догадаться. Первый шаг решения - занумеровать натуральными числами все рациональные числа. Следующий шаг - это уже определение отображения $f\colon\mathbb R\to P$, так что подсказать больше нельзя.

(Оффтоп)

Dan B-Yallay, идею не понял.

[xmaister]

Т.е. между любыми двумя действительными числами найдётся хотябы 1 рациональное. $\varphi :\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$. $\frac{m}{n}\rightarrow p_1^np_2^m,-\frac{m}{n}\rightarrow p_3^np_4^m$, тогда $f(x)=\{\varphi (y)|y-\text{рациональное}, y\leqslant x\}$.
Someone, Вы это имели в виду?

[Dan B-Yallay]

Dan B-Yallay в сообщении #474334 писал(а):

xmaister
Рассмотрите двоичное разложение числа из открытого интервала , при этом надо заменить конечные дроби эквивалентными бесконечными периодическими. Затем найдите соответствующее ему подмножество из (то есть элемент из ).

Моя идея в изначальном виде не подходит и нуждается в обточке напильником.

(Someone)

Ответил в личку, чтобы не приводить тут полного решения.

[Someone]

xmaister в сообщении #474343 писал(а):

Вы это имели в виду?

Можно и так, но я имел в виду более простой вариант. Пусть $\mathbb Q=\{r_n:n\in\mathbb N\}$. Тогда для $x\in\mathbb R$ можно положить $fx=\{n\in\mathbb N:r_n<x\}$ (или $\leqslant$).