Угловая скорость в связанной СК

[srm]

Здравствуйте. Есть вот такая механическая схема
Необходимо выразить угловую скорость движения стержня через $\alpha$, $\beta$ и их производные в связанной со стержнем СК.
В связанной СК стержень в некоторый момент $t$ имеет координаты $\alpha = 0, \beta = 0$. Через время $d t$ он попорачивается на угол $d\alpha$ вокруг $\vec{i_3}$ и на угол $d\beta$ вокруг $(\sin d\alpha, -\cos d\alpha, 0)$. Получаем:

1. $dr_{\alpha}=\vec{d\alpha}\times r=d\alpha\left[l_{\alpha}\times r\right]=d\alpha\left[i_{3}\times r\right]$
2. $dr_{\beta}=\vec{d\beta}\times\left(r+dr_{\alpha}\right)=d\beta\left[l_{\beta}\times\left(r+dr_{\alpha}\right)\right]=d\beta\left[\left(\sin d\alpha,-\cos d\alpha,0\right)\times\left(r+dr_{\alpha}\right)\right]\approx-d\beta\left[i_{2}\times r\right]$ (пренебрегли слагаемыми второго порядка малости)
3. $dr=dr_{\alpha}+dr_{\beta}=d\alpha\left[i_{3}\times r\right]-d\beta\left[i_{2}\times r\right]=\left[\left(d\alpha i_{3}-d\beta i_{2}\right)\times r\right]$
4. $dr=\vec{d\varphi}\times r=d\varphi\left[l_{\varphi}\times r\right]$

Выражаем $d\varphi\left[l_{\varphi}\times r\right]=\left[\left(d\alpha i_{3}-d\beta i_{2}\right)\times r\right]\Rightarrow d\varphi l_{\varphi}=d\alpha i_{3}-d\beta i_{2}$

Получаем выражение для угловой скорости в связанной СК:
$\omega^{*}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}l_{\varphi}=\frac{d\varphi}{dt}l_{\varphi}=\frac{d\alpha}{dt}i_{3}-\frac{d\beta}{dt}i_{2}=\dot{\alpha}i_{3}-\dot{\beta}i_{2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ -\dot{\beta}\\ \dot{\alpha}\end{array}\right)$

Если же найти угловую скорость в неподвижной СК: $\omega=\left(\begin{array}{c} \dot{\beta}\sin\alpha\\ -\dot{\beta}\cos\alpha\\ \dot{\alpha}\end{array}\right)$,
и затем выполнить преобразование координат, то получается другой результат: \omega^{*}=\left(\begin{array}{c} \dot{\alpha}\sin\beta\\ -\dot{\beta}\\ \dot{\alpha}\cos\beta\end{array}\right)$

В чём ошибка?

[espe]

srm в сообщении #471757 писал(а):

В связанной СК стержень в некоторый момент имеет координаты $\alpha=0, \beta=0$.

Наверно следует это учесть, когда считаете угловую скорость с помощью преобразования координат.

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #471757 писал(а):

Необходимо выразить угловую скорость движения стержня

у стержня угловой скорости не бывает

[srm]

Oleg Zubelevich в сообщении #473988 писал(а):

у стержня угловой скорости не бывает

Конструктивно... Что Вы этим хотели сказать?