доказательство основных свойств модуля.

[sandrachka]

здравствуйте, многоуважаемые!
надеюсь, что на этот раз мои формулы будут читаемы.
и вы сможете дать мне свой дельный совет.
нужно доказать что
1) $|a+b|\leqslant |a|+|b|$
Известно что
$-|a| \leqslant a \leqslant |a|$
$-|b|\leqslant b \leqslant |b|$
Сложив эти неравенства получим:
$-|a| -|b|\leqslant a+b\leqslant |a|+|b|$
Проблема состоит в том, что я не могу понять как из последнего неравенства получить
$|a+b|\leqslant |a|+|b|$
2) $|a-b|\geqslant ||a|-|b||$
Известно что
$|a|=|a-b|+|b|$
Отсюда:
$|a|\leqslant |a-b|+|b|$
Отсюда:
$|a|-|b|\leqslant |a-b|$
Также известно что
$|b|=|a-b|+|a|$
А значит:
$|b|\leqslant |a-b|+|a|$
Отсюда:
$-|a-b|\leqslant |a|-|b|$
И теперь нужно как-то соединить неравенства
$|a|-|b|\leqslant |a-b|$
И
$-|a-b|\leqslant |a|-|b|$
И получить что
$|a-b|\geqslant ||a|-|b||$
Но я не пойму как это сделать.
Надеюсь на отзывы.
С уважением,
Sandrachka.

[Astrel-]

Может прямо по определению модуля?
Рассмотреть два случая $a + b < 0$ и $a + b \geqslant 0$ и доказать, что из двойного неравенства

$$c \leqslant a+b \leqslant d$$

следует, что

$$|a+b| \leqslant max(|c|,|d|)$$

Во втором из

sandrachka в сообщении #472321 писал(а):

$-|a-b|\leqslant |a|-|b|$

следует, что $|a-b|\geqslant |b|-|a|$
Аналогично, доказать, что если

$$x>-a$$ $$x>a$$

, то $|x|>|a|$

[ellipse]

Если $c \ge 0$, то $|x|\le c $ равносильно тому, что $-c \le x \le c$.

По определению $|x|= \begin{cases} x,\ x \ge 0 \\ -x,\ x < 0 \end{cases}$

Пусть $|x|\le c $, покажем, что $-c \le x \le c$.
Если $x \ge 0$, тогда $|x| = x \le c$ и в итоге $0 \le x \le c$.
Если $x < 0$, тогда $|x| = -x \le c$, тогда $-c \le x$ и в итоге $-c \le x < 0$.
Объединяя неравенства, получим $-c \le x \le c$.

Обратно еще проще. Из неравенств $-c \le x \le c$ следует, что $x \le c$ и $-x \le c$, а значит и $|x|\le c$.

$-(|a|+|b|) \leqslant a+b\leqslant |a|+|b|$ равносильно $|a+b| \le |a|+|b|$

[ewert]

sandrachka в сообщении #472321 писал(а):

Сложив эти неравенства получим:
$-|a| -|b|\leqslant a+b\leqslant |a|+|b|$
Проблема состоит в том, что я не могу понять как из последнего неравенства получить
$|a+b|\leqslant |a|+|b|$

В лоб.

Если $a+b>0$, то из $a+b\leqslant|a|+|b|$ следует $|a+b|=a+b\leqslant|a|+|b|.$

Если $a+b\leqslant0$, то из $a+b\geqslant-|a|-|b|$ следует $|a+b|=-a-b\leqslant|a|+|b|.$

sandrachka в сообщении #472321 писал(а):

2) $|a-b|\geqslant ||a|-|b||$

Прямо следует из предыдущего (потому оно и второе). Если $|a|\geqslant|b|$, то

$|a-b|\geqslant\big| |a|-|b|\big| \quad\Leftrightarrow\quad |a-b|\geqslant|a|-|b| \quad\Leftrightarrow\quad |a|\leqslant|a-b|+|b|\quad\Leftrightarrow\quad$

$\quad\Leftrightarrow\quad |(a-b)+b|\leqslant|a-b|+|b|.$

Если $|a|<|b|$, то

$|a-b|\geqslant\big| |a|-|b|\big| \quad\Leftrightarrow\quad |a-b|\geqslant|b|-|a| \quad\Leftrightarrow\quad |b|\leqslant|b-a|+|a|\quad\Leftrightarrow\quad$

$\quad\Leftrightarrow\quad |(b-a)+a|\leqslant|b-a|+|a|.$

(А ещё лучше просто сказать, что второй случай сводится к первому перестановкой $a$ и $b$.)