На самом деле справедливо следующее утверждение: если гладкие поля

на

порождают двумерную алгебру Ли

, то в любой односвязной окрестности любой точки из области их линейной независимости для любого поля из

квадратурами находится первый интеграл.
В случае, когда одно из полей имеет вид

, то, действительно, квадратурами находится функция

такая, что
![$[fX_1,fX_2]=0$ $[fX_1,fX_2]=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/e/24e81776ecef872c92f07d9ea41635d882.png)
, и далее через дуальные к полям

формы находятся их первые интегралы (т.е. функции, сохраняющиеся вдоль линий поля). Эти первые интегралы будут также интегралами и для исходных полей

.
Итак, пусть

, а

-- поле общего вида. Пусть
![$[X_1,X_2]=c_1X_1+c_2X_2$ $[X_1,X_2]=c_1X_1+c_2X_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/3/5a367e8ca5d2dd1dff184e1c54cc58db82.png)
,

линейно независимы в каждой точке рассматриваемой области.
Имеем,
![$$
[fX_1,fX_2]=fX_1(fX_2)-fX_2(fX_1)=f\cdot(X_1f)X_2-f\cdot(X_2f)X_1+f^2[X_1,X_2]=
$$ $$
[fX_1,fX_2]=fX_1(fX_2)-fX_2(fX_1)=f\cdot(X_1f)X_2-f\cdot(X_2f)X_1+f^2[X_1,X_2]=
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/b/6fbbd15689c7f785f266f01e5a672c6e82.png)

Так как

линейно независимы, получаем систему

. Из первого уравнения

получаем

. Подставляем во второе уравнение

, получаем

или

(

, так как

линейно независимы -- это определитель из координат этих векторов)
Это уравнение имеет решение, если правая часть не зависит от

, то есть должно выполнятся соотношение

. Я проверил, что это соотношения выполняется -- оно следует из равенства
![$[X_1,X_2]=c_1X_1+c_2X_2$ $[X_1,X_2]=c_1X_1+c_2X_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/3/5a367e8ca5d2dd1dff184e1c54cc58db82.png)
(если это равенство расписать в координатах и приравнять коэффициенты слева и справа, то получится два уравнения, связывающие

).
Обозначим эту функцию

. Таким образом,

и

. Окончательно,

.
По-моему все эти выкладки, сохраняют силу и при

. Надо проверить.
В случае, когда оба поля общего вида, не знаю как решать уравнения

.