Кубик Рубика с ориентированными центрами.

[MetaMorphy]

Вообще вопрос, скорее всего, дурацкий. Но тем не менее...

Возьмём обычный кубик Рубика 3x3x3. На каждом центральном квадрате нарисуем стрелку. Теперь рассмотрим все элементы группы кубика (т.е. все комбинации поворотов граней), которые оставляют кубик собранным (в том смысле, что на каждой грани находятся квадраты одного цвета), но, возможно, меняют ориентацию стрелок.

Будет ли среди этих элементов преобразование, которое поворачивает в точности один из центральных квадратов на 180 градусов (а остальные центральные квадраты не трогает)?

(Это, скорее всего, не так, но вдруг ошибся... а вопрос возник в связи с попытками собрать куб 5x5x5 так, чтобы "наддиагональные треугольники" на трёх его гранях с общей вершиной оказались циклически переставленными, и на трёх других гранях тоже. Иногда получается, иногда один центр оказывается развёрнутым...)

[alex1910]

А почему нет?

Выставляете центральные элементы в нужной Вам ориентации, а дальше собираете кубик, не нарушая этой ориентации.

[venco]

alex1910 в сообщении #471370 писал(а):

А почему нет?

Выставляете центральные элементы в нужной Вам ориентации, а дальше собираете кубик, не нарушая этой ориентации.

Если это возможно.

[alex1910]

venco в сообщении #471391 писал(а):

alex1910 в сообщении #471370 писал(а):

А почему нет?

Выставляете центральные элементы в нужной Вам ориентации, а дальше собираете кубик, не нарушая этой ориентации.

Если это возможно.

Возможно, тот простой алгоритм, который использую я, ориентации центральных кубиков не меняет.

[MetaMorphy]

Погодите-ка... получается, вы утверждаете, что можно в точности один центральный квадрат повернуть даже на 90 градусов, а не на 180. Я не буду спешить с широковещательными утверждениями (ибо "а вдруг"), но вам, видимо, и формулу привести будет нетрудно? (Сборка кубика из состояния, отличающегося от полностью собранного поворотом одной грани, с условием запрета на смену ориентации центров.)

(Формулу в явном виде, конечно, не прошу - хотя бы словесное описание... чтобы можно было проверить.)

[alex1910]

MetaMorphy в сообщении #471420 писал(а):

Погодите-ка... получается, вы утверждаете, что можно в точности один центральный квадрат повернуть даже на 90 градусов, а не на 180. Я не буду спешить с широковещательными утверждениями (ибо "а вдруг"), но вам, видимо, и формулу привести будет нетрудно? (Сборка кубика из состояния, отличающегося от полностью собранного поворотом одной грани, с условием запрета на смену ориентации центров.)

(Формулу в явном виде, конечно, не прошу - хотя бы словесное описание... чтобы можно было проверить.)

Если можно собрать "верхний крест" (4 ребровых кубика одной грани в правилоьном месте и с правильной ориентацией), сохранив произвольно заданную ориентацию центров, то можно также собрать весь кубик, сохранив ориентацию.

Возможность сборки верхнего креста можно легко проверить (не маясь с группами, а тупо повертев настоящий кубик). Я не проверял (лето, жара, лень, неинтересно), но мне кажется это верным.

UPD.
Не хотите вертеть кубик - можно по другому.

Пусть есть собранный куб и мы хотим поменять ориентацию одного центра на 90 градусов.

Возьмем грань и занумеруем ее клетки
1 2 3
4 5UP 6
7 8 9

Повернем грань на 90 градусов:

7 4 1
8 5RIGHT 2
9 6 3

Обе подстановки (1,7,9,3) и (2,4,8,6) нечетные, значит можно вернуться
к собранному кубику, не меняя ориентации 5-ки и кубиков остальных граней.

[alex1910]

Что касается UPD - это не более, чем недоказанное утверждение.
Я не могу сходу, без счета, сообразить, сколько есть эквивалентных ориентаций центров - 1,2 или 4.

[Dimoniada]

На $180^{\circ}$ можно (повернётся верхний (T, top) центр). Вот формула: $(M_f^2B'M_r^2BM_r'M_f^2M_r)^2$, где $M(middle)$ - средний слой, определённый нижним индексом; $f(facade)$ - фасад; $r(right)$ - право; $B(bottom)$ - низ. Операция $x'$ - против часовой стрелки поворот, $x^2$ - двойной поворот. Рисунок не ахти, но всё же:

Например, $M_r$ означает поворот заштрихованного слоя на рисунке на $90^{\circ}$ по часовой стрелке относительно права ($r$), то есть когда мы развернули кубик и смотрим на правую грань фронтально.

[venco]

Dimoniada в сообщении #471581 писал(а):

На $180^{\circ}$ можно (повернётся верхний (T, top) центр). Вот формула: $(M_f^2B'M_r^2BM_r'M_f^2M_r)^2$

Другие центральные тоже поворачиваются.

[Dimoniada]

Извиняюсь, нижний тоже повернётся на $180^{\circ}$.

[venco]

Dimoniada в сообщении #471586 писал(а):

Извиняюсь, нижний тоже повернётся на $180^{\circ}$.

Я передний проверил - он тоже поворачивается на 180.

[Dimoniada]

Ещё раз проверьте.

[venco]

Dimoniada в сообщении #471592 писал(а):

Ещё раз проверьте.

Проверил. Поворачивается.

[MetaMorphy]

Dimoniada: Вашу формулу я проверил. Действительно, поворачиваются верхний и нижний центры, остальное не трогается (venco где-то ошибся). Это же можно сделать по чуть более короткой формуле, которая на вашем языке будет такой: $(M_t^2 M_r M_t^2 M_r' T^2)^2$.

Собственно, то, что два центра можно повернуть в разных направлениях на один и тот же угол, вопросов не вызывало. Операция $M_t M_r' M_t' M_r$ переставляет центры $R\to F\to T\to R$ и им противоположные тоже, а операция $M_t^2 M_r M_t^2 M_r'$ (которую я выше использовал) - центры $F$ и $T$ с противоположными им. Поэтому коммутаторы этих операций с поворотом одной грани сделают требуемый разворот соответственно для соседних и противоположных центров.

Что касается поворота одного центра (хоть дважды, хоть однажды), пока так и не понял, как это сделать (если это вообще возможно). Видимо, мне надо ознакомиться с алгоритмами, которые использует alex1910. С возможностью перестановки углов без смены ориентации центров согласен, остальное непонятно.

[venco]

MetaMorphy в сообщении #471770 писал(а):

Dimoniada: Вашу формулу я проверил. Действительно, поворачиваются верхний и нижний центры, остальное не трогается (venco где-то ошибся).

Я $B$ принял как "back" вместо "bottom".