Планиметрия (9-11).

[Dimoniada]

Сообщения ins- навеяли задачу-воспоминания:
"Дан описанный четырёхугольник. Необходимо доказать, что перпендикуляры, опущенные из середин его сторон на противоположные стороны, при пересечении образуют также описанный четырёхугольник."

P.S.:1) Аналог задачи-теоремы (к сожалению сейчас не помню чьей) про вписанный четырёхугольник, но там эти перпендикуляры вообще пересекаются в одной точке (её как раз можно считать вырожденным описанным четырёхугольником =*)
2) Противоположные стороны - это через одну сторону тут.

[ins-]

Dear Dimoniada,
I'm happy you like my problems and I would like to thank you for the beautiful problems. I know the second one from somewhere. It is a beautiful. The problem I posted seems to be very inspiring. A guy from Vietnam showed the following generalisation:

Let ABCD be cyclic quadrilateral inscribed (O). AC cuts BD at P. M,L lie on AD, N,K lie on BC such that MNKL is cyclic and MK,NL pass through P. Prove that circumcenter of (MNKL) lies on OP.

And least but not the last
You inspire me to discover the following fact let it be a gift for you.

It is given a quadrilateral with intersection point of the diagonals - P that is inscribed in circle. M and N are the feets of the perpendiculars from P to AD and BC respectively. K and L are the intersection points of PM with BC and PN with AD respectively. Prove that the middles of AB, CD and KL lies in a straight line.

P.S. I know far more beautiful problems than these I'm posting here concerning inscribed quadrilaterals.