Нетопологические аспекты формы, самоподобие пространства

[dfdt]

Уважаемые господа! Разрешите поприветствовать вас на этом форуме!

Читаю деда Бенуа (Мандельброта). А так как дед весьма не прост (или хочет таким казаться, или сам малёк недопонимает что он хотел сказать, ... что, впрочем одно и тоже :)) возникает ряд вопросов следующего характера:

1. Вот цитаты из его книги "Фрактальная геометрия природы": "В настоящем эссе выдвигается и защищается утверждение, что довольно расплывчатое понятие формы содержит не только топоплогические, но и другие математические аспекты" .... "Различия между фрактальными размернастями обусловлены нетопологическими аспектами формы, которые я предлагаю назвать фрактальными."

Так что такое "нетопологические аспекты формы"?
Так же повстречался в интернете вот с таким словосочетанием "локализованные нетопологические структуры" - тоже не понятно что это такое, а хотелось бы знать :)

2. Самоподобно ли Евклидово пространство (и имеет ли смысл вообще говорить о самоподобии применительно к пространству)?

Означает ли, что на отображённом в самоподобном пространстве (непрерывном) множестве всегда можно выделить его подмножество, которое так же будет самоподобно?

3. Является ли число Pi нетопологическим инвариантом?
Что характеризуют нетопологические инварианты?

Прошу человеческих ответов на сформулированные, надеюсь, человеческим языком вопросы :)

Заранее спасибо за компетентные ответы :)

[Kallikanzarid]

dfdt в сообщении #470835 писал(а):

2. Самоподобно ли Евклидово пространство (и имеет ли смысл вообще говорить о самоподобии применительно к пространству)?

Неформально, да, так как дилатации являются его автогомеоморфизмами.

[dfdt]

Цитата:

дилатации являются его автогомеоморфизмами

- вот это то, что я как раз и называю "нормальным человеческим языком" :)))

Kallikanzarid, собираетесь чего-нибудь отрыть в полях математики? Ну так присоединяйтесь к сабжу :)))) Думаю, здесь есть что порыть :)))

PS. В общем случае мои вопросы формулируется так:

1. Самоподобны ли любые гомогенные математические (геометрические) объекты?
2. Гомогенны ли объекты, располагающиеся в гомогенном пространстве? (Самоподобны ли располагающиеся в самоподобном?)
3. Гомогенно ли Евклидово пространство? (Самоподобно ли оно?)
4. Что такое "нетопологические аспекты формы"?
("В настоящем эссе выдвигается и защищается утверждение, что довольно расплывчатое понятие формы содержит не только топоплогические, но и другие математические аспекты" .... "Различия между фрактальными размернастями обусловлены нетопологическими аспектами формы, которые я предлагаю назвать фрактальными."
Бенуа Мандельброт ("Фрактальная геометрия природы"))
5. Является ли число Pi нетопологическим инвариантом?
6. Что характеризуют нетопологические инварианты?

[Kallikanzarid]

dfdt в сообщении #470993 писал(а):

Самоподобны ли любые гомогенные математические (геометрические) объекты?

А как определяется масштабирование для таких вещей?

[dfdt]

Ноги растут вот откуда: наблюдательный дедушка заметил, что у множества объектов природы (распределения масс в космосе, форма стоков реки, облаков, кровеносных систем итд) наблюдается феномен самоподобия. Однако он не смог объяснить причину этого (чего стоят закидоны вроде "Неясность изложения - не добродетель", "пространственная однородность масштабная инвариантность и самоподобие" и ещё куча туманных глав, которые сыплются там через одну :)))), а только описал что у подобных геометр. объектов размерность Хаусдорфа (Х.р.) строго больше топологической размерности, во многих случаях Х.р. - является величиной дробной и назвал такие объекты "фракталами".

По поводу "нетопологических аспектов формы". Из того, что я сам предположил, так это то, что:

1. Форма геометр. объекта отражает алгоритм его создания (который сам по себе вроде как бы и не связан с топологией, и является нетопологическим инвариантом, который можно охарактеризовать через форму геометр. объекта)
2. Ряд инвариантов, формирующих пространство - могут быть нетопологическими (например число PI не зависит от масштаба объекта, вроде бы оно и характеризует некий масштабно-независимый нетопологический инвариант, участвующий в формировании геометр. объектов в Евклидовом пространстве?!)

Ну и в заключение, дедушка Бенуа был хитрым. Предполагать что форма самого физического пространства (а следовательно и объектов в нем) - фрактальна (самоподобна), он не стал. Утверждать, что форма существования материи (или форма процесса эволюции, что в общем-то одно и тоже) - самоподобие не стал тоже (доказать он не смог, а высказать предположения без доказательств - опасно - в седую голову могут и камни полететь :))))

Вот мы и имеем то что имеем - кучу рассмотренных им феноменов от макро- до микро- мира, которые имеют фрактальную форму устройства и ни одного предположения отчего бы это вдруг так :) И "манифест": "У геометрии природы фрактальное лицо" :))))))

Вот отсюда мои вопросы - надо бы поставить в этом тёмном деле светлую точку :)))

Вот сама нига "Фрактальная геометрия природы.djvu":
Фрактальная геометрия природы.djvu.html

А вот ещё "фокус" оттуда (за что я этого деда люблю :))))
Цитата (Глава "МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ"):

"В работе «Euclidis тгрсота»1 (см. [296], том II. 1, с. 183-211), представляющей собой попытку конкретизировать евклидовы аксиомы, Лейбниц на с. 185 пишет: «IV (2): У меня имеются самые разнообразные определения прямой. Например, прямая линия есть кривая, каждая часть которой подобна целому; этим свойством обладает лишь прямая, причем не только среди кривых, но и среди множеств.» Сегодня мы можем доказать это утверждение. Далее Лейбниц описывает более ограниченные самоподобные свойства плоскости."

Ведь мог же в самой книге сказать "пространство самоподобно" :))) Так ведь нет, не cказал, а вот в приписочке Лейбница процитировал :)))), как бы намекая :)))))

PS.
На тему масштабирования - масштабирование производится посредством создания исходной геометрической фигура и затем повторения её на плоскости посредством использования строго определённого алгоритма (как пример - см. Кривая Коха). И я думаю РЕКУРСИЯ - это то понятие, которое имеет отношение к рассматриваемому вопросу.

PPS. Вопросы для меня не праздные т.к. сейчас пишу небольшой вклад, конечно же в процветание будущего человечества :)))) Вот для этого нужны мне ответы на эти вопросы :)

[Munin]

На эту тему легко свихнуться, лучше почитайте не воодушевлённого первооснователя, а чего-нибудь современное здраво-взвешенное. У всех природных фракталов есть отклонения от самоподобия и предельные масштабы, когда самоподобие совсем перестаёт работать.

Связь с алгоритмами действительно есть, но только для биологических объектов (кровеносная система, ветви дерева, ветви коралла), где алгоритмы - по сути генетические программы в клетках, или в отдельных особях (если рассматривается лес). В других случаях речь не об алгоритмах, а просто о законах, которые оказались масштабно-инвариантными. Такие законы возникают то там, то сям в физике, но далеко не везде, и превозносить их превыше всего - преувеличение.

[Kallikanzarid]

dfdt

(Оффтоп)

Вопросы масштабирования также важны при построении вейвлетов на многообразиях, можете почитать литературу по ним, чтобы получить идеи. Хотя я полный неуч, когда речь идет о гармоническом анализе и прочих, я думаю, что начать стоит с малого: абелевых групп Ли и их самонакрытий.

[dfdt]

Munin в сообщении #471034 писал(а):

превозносить их превыше всего - преувеличение.

Согласен. Смысл - в том, чтобы использовать, а не превозносить :)

Но согласитесь, узнать - что пространство самоподобно - было бы круто :)
Тогда мы бы без всякого зазрения совести могли искать подобия у любых, располагающихся в нём объектов :)))

2Kallikanzarid, 2All

Спасибо, за указания областей откуда можно начинать рыть - но мне нужно "здесь и сейчас" :)))

Пишу работу, сроки уже и так все затянуты, вот поэтому обращаюсь к математикам с кличем о помощи :)))) Типа, SOS!!!! :))))

[Kallikanzarid]

dfdt в сообщении #471247 писал(а):

Тогда мы бы без всякого зазрения совести могли искать подобия у любых, располагающихся в нём объектов :)))

А фракталы пока кроме как в $\mathbb{R}^n$ нигде и не рассматривали.

dfdt в сообщении #471247 писал(а):

Пишу работу, сроки уже и так все затянуты, вот поэтому обращаюсь к математикам с кличем о помощи

Вы хотите, чтобы за вас сделали научную работу? Вы с ума сошли.

[Munin]

dfdt в сообщении #471247 писал(а):

Согласен. Смысл - в том, чтобы использовать, а не превозносить :)

А это давно на практике делают. Без громких воплей про супер-понимание природы.

dfdt в сообщении #471247 писал(а):

Но согласитесь, узнать - что пространство самоподобно - было бы круто :)

Это не круто, а банально.

dfdt в сообщении #471247 писал(а):

Тогда мы бы без всякого зазрения совести могли искать подобия у любых, располагающихся в нём объектов :)))

От "самоподобия" пространства самоподобие у объектов ещё не появляется. Это необходимое условие, а не достаточное. Несамоподобных объектов на свете гораздо больше, чем самоподобных.

dfdt в сообщении #471247 писал(а):

Спасибо, за указания областей откуда можно начинать рыть - но мне нужно "здесь и сейчас" :)))

Что вам нужно "здесь и сейчас"? Просветление о Сути Вселенной? Идите к дзен-буддистам, они вас стукнут палкой по голове, просветлеете.

Kallikanzarid в сообщении #471251 писал(а):

А фракталы пока кроме как в $\mathbb{R}^n$ нигде и не рассматривали.

Интересное замечание. Как насчёт аффинных пространств, проективных, комплексных, симплектических? Впрочем, в симплектических точно рассматривали, фазовые портреты в теории хаоса фрактальны.

dfdt в сообщении #471247 писал(а):

Пишу работу, сроки уже и так все затянуты, вот поэтому обращаюсь к математикам с кличем о помощи :))))

Странное образение за помощью, ведь о тематике работы вы не сказали ни слова.

[dfdt]

Цитата:

Вы хотите, чтобы за вас сделали научную работу? Вы с ума сошли.

Ну почему сразу научную?! Я хочу - чтобы за меня делали всю работу! По дому по работе итд. Наверное, я - нормальный человек, думаю, это не отклонение :)))

Цитата:

Несамоподобных объектов на свете гораздо больше, чем самоподобных.

Вот как раз-то, есть основания предполагать, что как раз с точностью наоборот, мало того есть подозрения, что самоподобие - есть форма существования материи...

Возьмём, например, любое поле. Мы ведь можем выделить в нём такую зону. которая по своим проявлениям - будет подобна проявлениям поля в целом?

Помимо того, тот факт, что часть (световой) волны, пройдя, например, сквозь щель - сохраняет свойства исходной волны не говорит о её подобии целой волне? Либо о самоподобии - как внутренем свойстве самой (световой) волны?

[Kallikanzarid]

dfdt в сообщении #471466 писал(а):

Вот как раз-то, есть основания предполагать, что как раз с точностью наоборот, мало того есть подозрения, что самоподобие - есть форма существования материи...

Возьмём, например, любое поле. Мы ведь можем выделить в нём такую зону. которая по своим проявлениям - будет подобна проявлениям поля в целом?

Помимо того, тот факт, что часть (световой) волны, пройдя, например, сквозь щель - сохраняет свойства исходной волны не говорит о её подобии целой волне? Либо о самоподобии - как внутренем свойстве самой (световой) волны?

Либо это бредовая метафизика, либо вы можете доказать, что решения волнового уравнения в $\mathbb{R}^n$ в строгом смысле самоподобны.

[dfdt]

Цитата:

Либо это бредовая метафизика, либо вы можете доказать, что решения волнового уравнения в $\mathbb{R}^n$ в строгом смысле самоподобны.

Вот в том то и дело, что дешёвой метафизикой заниматься я не хочу, а сам математически доказать - не могу. Это и привело меня на форум математиков :)))

Доказательство выглядит сложным ? Или есть хотя бы какие-нибудь правдивые мат. предпосылки, что оно вероятно?

[Kallikanzarid]

dfdt в сообщении #471475 писал(а):

Доказательство выглядит сложным ?

Сначала сделайте строгое утверждение, а потом уже можно будет задаваться вопросом о доказательстве.

[Munin]

dfdt в сообщении #471466 писал(а):

Вот как раз-то, есть основания предполагать, что как раз с точностью наоборот

Такие "основания" есть только у тех, кто слишком мало реальных объектов знает. Увидев вокруг себя немножко самоподобия, они начинают бегать и вопить, что оно повсюду.

dfdt в сообщении #471466 писал(а):

Возьмём, например, любое поле. Мы ведь можем выделить в нём такую зону. которая по своим проявлениям - будет подобна проявлениям поля в целом?

Вы про физическое поле или про алгебраическое? В обоих случаях ответ "нет", кстати.

dfdt в сообщении #471466 писал(а):

Помимо того, тот факт, что часть (световой) волны, пройдя, например, сквозь щель - сохраняет свойства исходной волны не говорит о её подобии целой волне?

Вы знаете, нет такого факта. Пройдя через щель, световая волна свойства меняет.

dfdt в сообщении #471466 писал(а):

Ну почему сразу научную?! Я хочу - чтобы за меня делали всю работу! По дому по работе итд. Наверное, я - нормальный человек, думаю, это не отклонение :)))

Жадность - да, нормальное явление. Вот только ожидать, что за одну только жадность вам всё принесут на блюдечке и скормят с ложечки, наивно. Ожидайте от собеседников не меньшей жадности, по крайней мере :-)