Задачки - помогите решить.

[Antonina]

1.Напротив какой из сторон треугольника a,b,c лежит меньший угол, если a² + b² > 5c² ?

2.Натуральные числа заключены между 2006² и 2007². Можно ли найти среди них числа a,b,c,d такие, что ab = cd ?

3.x + 1/y = y + 1/z = z + 1/x . Найти x²y²z².

4.Хрюша расставил своих 2006 друзей на дороге длиной 1 км. Есть ли точка на этой дороге, такая что сумма расстояний от нее до друзей Хрюши не меньше 1003 км?

5.С какого номера n члены последовательности:
a[1] = 1,
a[n+1] = 2*(a[n]+1/a²[n])/3
будут отличаться от кубического корня из 2 на величину не больше чем 10 в степени -16?

6.Найти x, y, z, такие что
x + y + z = 1,
x³ + y³ + z³ = 1,
xy + yz + xz = -4.


Всем заранее Спасибо!

[Lion]

Насколько я помню, задачи 4, 5 и 6 мы с Вами и RIP'ом уже решали здесь.
В задаче 3 условие точно правильное? Если $x=y=z$, то $(xyz)^2$ может быть любым положительным числом.
В задаче 1 скорее всего, напротив стороны с. Это следует из симметрии условия относительно замены а на b и b на а.

[RIP]

Antonina, в следующий раз пишите сразу в раздел "Олимпиадные задачи", всё равно перенесут.
3) В третьей задаче, насколько я помню, еще есть условие, что не все числа $x,y,z$ равны. Тогда они все попарно неравны. Переписываем условие в виде

$$x-y=\frac{y-z}{yz}$$

$$y-z=\frac{z-x}{zx}$$

$$z-x=\frac{x-y}{xy}$$

Перемножаем и получаем, что $x^2y^2z^2=1$.
1) Напротив стороны $c$. Надо доказать, что $c<a$ и $c<b$.
Если бы было $c\geqslant a$, то $b^2>5c^2-a^2\geqslant(a+c)^2$, т.е. $b>a+c$. Противоречие с нер-вом треугольника.
Аналогично, $c<b$

[Dan_Te]

Замечание за дубль. Задачи 4, 5, 6 уже были, причем в вашей же теме. Тема перенесена в олимпиадные.

[RIP]

2) Более общо, докажем, что равенство $ab=cd$ невозможно, где $a,b,c,d$ - попарно различные натуральные числа, заключенные между $n^2$ и $(n+1)^2$ включительно.
От противного. Пусть $a$ - наименьшее. Сделаем замену переменных $c=a+e,d=a+f,b=a+g$. Тогда $a(g-e-f)=ef$, следовательно,
$g\geqslant e+f+1>2\sqrt{ef}+1\geqslant 2\sqrt a+1\geqslant 2n+1$
Значит, $b=a+g>n^2+2n+1=(n+1)^2$. Противоречие.

[Antonina]

Спасибо за замечание. Искрене сожалею, что доставила Вам неудобства.

[Sasha2]

Не понимаю честно говоря, что в первой задаче олимпиадного. Она в уме решается.

Если бы a было бы меньше c, то тогда из неравенства следует, что b больше 2с. Тогда противоречие с неравенством треугольника. Аналогичное рассуждение и по b. Следовательно c
наименьшая сторона. Ну а далее все понятно какой угол против какой стороны лежит.

[RIP]

Это нормальная олимпиадная задача для 8, скажем, класса. То, что решение простое, не означает, что до него легко додуматься.