Connection

[Bulinator]

Продолжаю страдать T. Eguchi, P. Gilkey, A. Hanson "Gravitation, gauge theories and differential geometry".
Стр. 278, "Parallel transport approach".
$E$- general vector bundle.

Цитата:

Let $X$ be a tangent vector and $s$ be a section to $E$. A connection $\nabla$ is a rule $\nabla_X(s)$ for taking directional derivative of $s$ in direction $X$ and getting another section to $E$.

Это определение- математическое хулиганство или я чего от недопонял? Эдак получается, что я могу взять какую-нибудь(любую!!!) section, поставить его в соответствие $s$ и обзывать его directional derivative. Я что, получу connection?

[Bulinator]

Помогите, пожалуйста с пониманием на пальцах понятия "саязность".
Пусть у нас есть векторное расслоение $\pi:E\to M$ со слоем $V$.
Пусть задана section(кстати, как будет section по русски?) $s:M\to F$. И пусть имеется кривая $X: \mathbb{R}\to M$. Композиция $z\circ X$ определяет кривую в $V$. А дальше уже запутался. :( Как ввести $\Gamma$?

[caxap]

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #469616 писал(а):

Пусть задана section(кстати, как будет section по русски?)

Я в дифгеме ничего не знаю, но если section -- это морфизм, имеющий левый обратный, то по-русски он называется коретракцией или иссечением (этот термин из Бурбаков).

[Munin]

Скорее, это сечение расслоения.

[type2b]

Вы спрашиваете совсем элементарные вещи. В таких случаях быстрее, проще и полезнее разобраться самому, чем спрашивать на форуме. Эти вещи изложены в миллионе книжек, как на русском, так и на английском, и если в одной что-то непонятно, то всегда можно заглянуть в другую, а заодно понять, что такое 'section' по-русски.

Section -- это в данном случае сечение расслоения. Пусть есть расслоение $\pi: E\rightarrow M$ со слоем $V$, не обязательно векторное -- любое. Сечение определяется очевидным образом. Это отображение $s: M\rightarrow E$ (а не в $V$!) такое что $\pi\cdot s$ есть тождественное. Т.е. это просто над каждой точкой базы $p\in M$ висит точка из слоя над этой точкой базы $\pi^{-1}(p)$.

Пусть теперь $E$ -- векторное расслоение. Связность $\nabla$, по определению, это линейное отображение $\Gamma (E)\rightarrow \Gamma(E\times T^*M)$, удовлетворяющее правилу Лейбница (гаммой от расслоения обозначают пространство его сечений). Если зафиксировать направление $X\in \Gamma(TM)$, то оно свернется с ковариантным индексом, и ковариантный дифференциал $\nabla$ превратится в ковариантную производную $\nabla_X$, которая будет соотв-но отображением $\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(E)$.

В Вашей цитате из книжки все верно, но не хватает условия про правило Лейбница (оно важно!). Если бы мы были математиками, то нужно было бы еще дописать слов про всякую непрерывность и т.п.

[Bulinator]

type2b в сообщении #469643 писал(а):

Это отображение $s:M\rightarrow E$ (а не в $V$!) такое что $\pi\cdot s$ есть тождественное.

Т.е., как оговорено в вышеупомянутом обзоре, можно считать, что локально сечение есть отображение из $M$ в $V$.

Сначала рассмотрим пример касательного расслоения сферы $S^2$. Так как сфера вложена в $R^3$, мы представляем себе что такое параллельный перенос из $TS^2_x$ в $TS^2_{x+dx}$. Иными словами, интуитивно мы задаем базис в касательном пространстве в каждой точке следующим образом: один вектор направлен вдоль большой окружности, второй- перпендикулярно.
В общем случае мы не знаем как могут быть направлены эти базисные вектора. Нам нужен закон, по которому мы будем отождествлять вектора в разных слоях(Т.е. ответ на вопрос, какие два вектора в разных слоях мы будем считать одним и тем же вектором, находящимся в разных слоях?). В случае сферы, это был просто пареллельный перенос в трехмерном объемлющем пространстве с последующим занулением радиальной состовляющей. В общем случае мы задаем некий закон $\text{З}_{x',x}:V_{x'}\to V_{x}$, перетаскивающий вектор из слоя над точкой $x'$ в слой над точкой $x$, где мы уже можем их вычитать.

Пусть теперь у нас задана кривая $x(t)$, $x(0)=x$. Интересующее нас изменение сечения $s$ вдоль этой кривой мы можем записать следующим образом:

$$\delta_{x(t)}s=\text{З}_{x(0+\delta t),x(0)}[s(x(0+\delta t))]-s(x(0))$$

Имея формальное выражение для изменения а так же учитывая, что все слои по определению диффеоморфны и $\text{З}_{x,x}(s)=s$, мы можем разложить первое выражение в ряд, оставляя только члены первого порядка малости по $\delta t$:

$$ \delta_{x(t)}s=\delta t \dot{x^k}\left(\frac{\partial s}{\partial x^k}+\left.\frac{\text{З}(b,x(0),s(x(0)))}{\partial b^k}\right|_{b=x(0)}\right) $$

Вот теперь, если последнее выражение линейно по $s$, то коэффициенты мы будем обзывать $\Gamma^\mu_{k \nu}$ и называть коэффициентами афинной связности.

Правильно?

[ИгорЪ]

http://ufn.ru/ru/articles/1982/3/a/
здесь очень хороший и краткий обзор по обсуждаемой теме, рекомендую

[Bulinator]

ИгорЪ, спасибо. Очень полезный обзор!

[epros]

Bulinator в сообщении #469726 писал(а):

один вектор направлен вдоль большой окружности, второй- перпендикулярно

Любопытно, какой смысл Вы вкладываете в слова про то, что вектор направляется "вдоль большой окружности"? По моим понятиям в направлении любого вектора можно провести большую окружность.

[Bulinator]

epros в сообщении #471497 писал(а):

Любопытно, какой смысл Вы вкладываете в слова про то, что вектор направляется "вдоль большой окружности"? По моим понятиям в направлении любого вектора можно провести большую окружность.

Ой... Не учите меня жить - лучше помогите материально!(с)

-- Ср июл 27, 2011 14:26:13 --

Bulinator в сообщении #469726 писал(а):

Правильно?

[epros]

Bulinator в сообщении #471522 писал(а):

Ой... Не учите меня жить - лучше помогите материально!(с)

Тока морально могу, ибо сами мы не местные...

Я не понял, в чём в целом проблема? Понять, как определить параллельный перенос на сфере, нарисованной в евклидовом трёхмерии? Ну так Вы в целом всё правильно изобразили: Выполняем перенос в евклидовом трёхмерии, а потом проецируем перенесённые объекты на сферу, "исправляя" все длины в соответствии с правилом, согласно которому "расстояния при переносе сохраняются".

Или вопрос заключается в целом в том, чтобы понять, что такое связность в самом общем случае (даже не обязательно связанная с какой-либо метрикой)? Ну дык она и есть самое общее определение параллельного переноса: Мы должны любым образом (но с учётом гладкости, конечно) определить функцию, отображающую вектор в точке A в результат его переноса в точку B. Из требования гладкости как раз и следует, что бесконечно малый перенос описывается любым псевдотензором вида $\Gamma^i_{j k}$.