Границы на интеграл - улучшение (из книги Боровкова)

[Gortaur]

В одной книге (Боровков, ТМО) определяется данная величина

$$ F(m) = \sup\limits_{v\geq 1}\frac{v^m}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du $$

для $m\in [3,4]$. Автор также приводит оценку:

$$ F(m)\leq 1+\frac m2+\frac m2(m+1)^{m+1}e^{-m}, $$

то есть для $m = 3$ мы получаем $F(M)\leq 117$. Оценка грубовата: я не знаю точного значения, но судя по Математике должно быть $\approx3.58$.

Ясно, что численные оценки Математики не очень надежны, поэтому хотелось бы найти хорошие границы на $F(m)$ для $m\in [3,4]$.

Что сделано (немного): определим

$$ f(v,m) = \frac{v^m}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du $$

тогда

$$ f'(v,m) = 1+\frac{v^{m-1}(m-v)}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du $$

где производная берется по $v$. Так как мы рассматриваем лишь $v\geq 1$, то для $v\in[1,m]$ получаем $f'\geq 1>0$. Так что у меня два вопроса:

1. есть ли такое $v^*$, что $f'(v^*,m) = 0$?

2. если есть - единственно или оно?

Чтобы ответить на эти вопросы, надо хорошо изучить поведение

$$ \frac{v^{m-1}(m-v)}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du, $$

что у меня сделать не получается. Например, формула второй производной на умные мысли не наводит. Можете подсказать, как решить задачу?

[mihiv]

Подынтегральная функция $g(u)=\dfrac {e^u}{u^m}$ выпукла вниз,имеет минимум при $u=m$.
Разобьем область изменения $v$ на две:$[1,v_1],[v_1,\infty ]$,где $v_1$-корень уравнения $g(v)=e$ (больший 1).Если $v\in [1,v_1]$,то подынтегральная функция $\leq e$(принимая значения $e$ на концах интервала).
Т.к. при $v>m,f'(v,m)<1,$то в первой области $f(v,m)<f(m,m)+v_1-m<\dfrac {em^{m+1}}{e^m}+v_1-m.$
Если же $v\in [v_1,\infty ]$,то подынтегральная функция принимает наибольшее значение на правом конце интервала интегрирования,после интегрирования по частям получим оценку:

$$f(v,m)<1+\dfrac {mv^m}{e^v}\int \limits _1^v\dfrac {e^u}{u^{m+1}}du<1+m$$

Таким образои

$$\sup \limits _{v\geq 1}f(v,m)<\dfrac {em^{m+1}}{e^m}+v_1-m$$

[Gortaur]

Спасибо.