Когда $2^{2n+2}-8 \cdot 3^n-2^{n+2}+1$ точный квадрат

[nnosipov]

При каких натуральных $n$ число $2^{2n+2}-8 \cdot 3^n-2^{n+2}+1$ будет точным квадратом? Вроде что-то свеженькое в этом жанре; найдено на aops.

[staric]

Вроде бы, надо решать уравнение $2^{2s}-1=2\cdot 3^m+3^{2s-1-m}$.

(Оффтоп)

Тогда разность сомножителей 2, т.е., либо $n=2s-1=3m=3$ ($m<s$, выносим за скобки $3^m$), либо $3^{2s-m-1}=2\cdot 3^{2m-2s+1}+3$, и $n=2s-1=2m-1=5$

[nnosipov]

staric в сообщении #469377 писал(а):

Вроде бы, надо решать уравнение $2^{2s}-1=2\cdot 3^m+3^{2s-1-m}$.

Да, именно так. А вот Ваш оффтоп я не понял, нельзя ли поподробнее?

[staric]

Да вроде ж просто.

(Оффтоп)

Если $m<s$, правая часть выглядит как $3^m\cdot (2+3^{2s-1-2m})$, отсюда $3^m = 3^{2s-1-2m}=3^{\frac{2s-1}{3}}=2^s-1$, иначе разность делится на 3.
В другом случае правая часть выглядит как $3^{2s-1-m-k}\cdot (2\cdot 3^{2m-2s+1+k}+3^k)$, и $2\cdot 3^{2m-2s+1+k}+3^k=2\cdot 3^{2m-2s+1}+1=3^{2s-1-m}-2$, иначе разность делится на 3. Но тогда $2m-2s+1=1$, $3^{s-1}=2^s+1$

[nnosipov]

staric в сообщении #469392 писал(а):

Если $m<s$, правая часть выглядит как $3^m\cdot (2+3^{2s-1-2m})$, отсюда $3^m = 3^{2s-1-2m}=3^{\frac{2s-1}{3}}=2^s-1$, иначе разность делится на 3.

Давайте подробно рассмотрим этот момент. Вообще говоря, число $2+3^{2s-1-2m}$ может разлагаться на множители: $2+3^{2s-1-2m}=A \cdot B$. Почему невозможна ситуация, когда $3^m \cdot A-B=-2$ (левая часть теперь не делится на $3$)? В этом случае мы получили бы равенства $3^m \cdot A=2^s-1$ и $B=2^s+1$, которые пришлось бы дальше исследовать.

Интересный глюк произошёл --- наши сообщения поменялись местами, пока мы их редактировали.

[cepesh]

nnosipov в сообщении #469396 писал(а):

Интересный глюк произошёл --- наши сообщения поменялись местами, пока мы их редактировали.

Исправлено.

[nnosipov]

cepesh в сообщении #469425 писал(а):

Исправлено.

Спасибо.

[maxal]

nnosipov в сообщении #469354 писал(а):

При каких натуральных $n$ число $2^{2n+2}-8 \cdot 3^n-2^{n+2}+1$ будет точным квадратом?

Пусть $2^{2n+2}-8 \cdot 3^n-2^{n+2}+1 = q^2$, тогда:

$$(2^{n+1}-1-q)\cdot (2^{n+1}-1+q) = 8 \cdot 3^n.$$

Так сомножители в левой части одной четности, то один из них имеет вид $4\cdot 3^m$, а другой - $2\cdot 3^{n-m}$ для некоторого целого $m$. Откуда

$$2\cdot 3^m + 3^{n-m} = 2^{n+1}-1.$$

Пусть $\min\{m,n-m\} = k$, тогда левая и правая часть в последнем равенстве делятся на $3^k$, откуда $n+1$ делится на $2\cdot 3^{k-1}$, и в частности, $n+1\geq 2\cdot 3^{k-1}$ или $3^{k-1}\leq \frac{n+1}{2}$.

С другой стороны,

$$2^{n+1} - 1 = 2\cdot 3^m + 3^{n-m} > 3^{n-k} = \frac{3^{n-1}}{3^{k-1}} \geq \frac{2\cdot 3^{n-1}}{n+1}.$$

Итак,

$$2^n > \frac{3^{n-1}}{n+1}$$

что выполняется только для $n\leq 8$. Нетрудно проверить, что решениями исходной задачи на самом деле являются лишь $n=3$ и $n=5$.

[nnosipov]

Да, именно так и, как мне кажется, проще не получится.

[maxal]

Опять же источник, по-видимому, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=404137

-- Tue Jul 19, 2011 06:35:30 --

или же http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=409486

[nnosipov]

Да, верно. Надо быть точнее, это Вы правы.