Мат. ожидание функции минимума

[Rymb]

Задание: найти математическое ожидание функции min (a,b), где a и b распределены равномерно.

Подскажите, пожалуйста, с чего начать и какие формулы использовать.

Верно ли, что в данном случае M(X)=интергал от минус бесконечности до бесконечности x*f(x) dx , где f(x) - плотность распределения?

только вот что дальше и как найти f (x)?..

[cyb12]

$f(x)$ -- совместная плотность распределения, да.
Нет в условии, что случайные величины независимы?

(Оффтоп)

Это не с собеседования в одну из школ вам дали?

[Rymb]

В условии про a и b больше ничего не сказано.

[cyb12]

Ну вообще странно. Я думаю, что можно привести примеры не независимых случайных величин, для которых матожидание минимума будет различным. Ну, например, взять независимые с.в., и с.в. $b = 1 - a.$

[ewert]

Да независимы, разумеется. Об этом вполне могло быть явно и не сказано, и тогда это подразумевается.

Rymb в сообщении #468771 писал(а):

Верно ли, что в данном случае M(X)=интергал от минус бесконечности до бесконечности x*f(x) dx , где f(x) - плотность распределения?

"Формально -- верно, а по существу -- издевательство." $\copyright$

У Вас фактически есть двумерное распределение, совместная плотность которого прекрасно известна (в силу независимости). Вот и считайте матожидание как двойной интеграл от функции $\min(a,b)$ по этой плотности (т.е. фактически по соответствующему квадрату).

[EvgeniyPlusPlus]

Добрый день.

Я напишу как решается задача нахождения мат.ожидания максимума, а по аналогии вы сделаете для минимума.
Если долго не будет получаться, напишу потом решение - просто его нет под рукой, а это - есть.
--

Пусть $a$ и $b$ - независимые, одинаково-распределенные равномерно на отрезке $[0; 1]$ случайные величины.

1) Ищем функцию распределения максимума:

$ P(\max(a,b) < x) = P(a < x, b < x) = P(a < x) \cdot P(b < x) = x^2 $

Вот этот переход может быть неочевиден. Нужно нарисовать прямую, на ней отметить случайные точки a и b.
$x$ в нашем случае лежит правее $a$ и $b$. Отсюда и вытекает то, что написано.

2) Ищем плотность распределения максимума. Для этого просто дифференцируем функцию распределения:

$ \rho_{\max(a,b)} = 2 x $

3) Ищем мат.ожидание максимума:

$ E \max(a, b) = \int_{0}^{1} (\rho_{\max(a,b)} \cdot x) = \int_{0}^{1}(2 x \cdot x) = 2/3 $

Получен ответ!