Матричное уравнение

[cyb12]

Уравнение для матрицы А
$A^2=-E$. Получилось найти решения. Как доказать единственность. Или как вообще находить все решения?

[Xaositect]

Представим $A$ в жордановой форме. Получим, что $A$ диагонализуема (над $\mathbb{C}$) и все ее с.з. равны $\pm i$. Если матрица действительная, то сопряженные с.з. парные, а это значит, что она размера $2n\times 2n$ и подобна $\left(\begin{matrix}0 &1\\1 & 0\end{matrix}\right)\otimes E_n$. Например, если $A$ - матрица размера $2\times 2$, то $A = P\left(\begin{matrix}0 &1\\1 & 0\end{matrix}\right) P^{-1}$, т.е. $A = \left(\begin{matrix}\pm\sqrt{-1-ab} &a\\b & \mp\sqrt{-1-ab}\end{matrix}\right)$

[cyb12]

Xaositect в сообщении #468637 писал(а):

Если матрица действительная, то сопряженные с.з. парные, а это значит, .... и подобна $\left(\begin{matrix}0 &1\\1 & 0\end{matrix}\right)\otimes E_n$.

Почему? И что это такое?

[Xaositect]

Это $\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{matrix}\right)$. Точнее, это $E\otimes \left(\begin{matrix}0 &1\\1 &0\end{matrix}\right)$, но здесь это по большому счету неважно.
Потому что $\left(\begin{matrix}i &0\\0 &-i\end{matrix}\right)$ подобна $\left(\begin{matrix}0 &1\\1 &0\end{matrix}\right)$.

[cyb12]

Ничего не понял. Собственные значения парные, хорошо. Следовательно чему что подобно?

[ewert]

Ну, так честно сказать, ув. Xaositect неплохо бы втыкнуть в свою матрицу два на два минусик -- неважно перед какой единичкой. Естественно.

А ув. ТС неплохо бы привести точную формулировку задачки. Что-то мне сдаётся, что она была именно насчёт матриц два на два. Если это так, то один разговор; а если нет -- то понадовится гораздо больше заклинаний, чтоб на примерно то же самое выйти. Но это вряд ли.

[Xaositect]

ewert в сообщении #468785 писал(а):

Ну, так честно сказать, ув. Xaositect неплохо бы втыкнуть в свою матрицу два на два минусик -- неважно перед какой единичкой. Естественно.

Ой, разумеется. Прошу прощения.

[cyb12]

Точная формулировка такая:
решить матричное уравнение $A^2=-E,$ $A$ -- вещественная(!) матрица $n\times n,$ $E=\operatorname{diag}\{1,\ldots,1\}.$
Совсем не для порядка 2, собственно, потому и вопрос.
Нашел, кстати, такие решения:
$A=\left(\begin{matrix}&0&A_1\\&A_2&0\end{matrix}\right),$
где $A_1=\left(\begin{matrix}&0&0&\ldots&0&0&a_1\\&0&0&\ldots&0&a_2&0\\&0&0&\ldots&a_3&0&0\\&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots \\&0&a_{k-1}&\ldots&0&0&0\\&a_k&0&\ldots&0&0&0\end{matrix}\right),$ $a_i=\pm1,$ $A_2=A_1^T,$ $k=\frac n2.$

Наверняка, есть и другие. Но как их найти и доказать, что других нет?

[ewert]

cyb12 в сообщении #468796 писал(а):

Совсем не для порядка 2, собственно, потому и вопрос.

Тогда попытайтесь прочитать сообщения Xaositect. Он изложил решение исчерпывающе (с точностью до путаницы в знаках). Т.е. естественно, для нечётных размерностей в случае вещественных матриц решений существовать не может, для чётных же -- исчерпывающе (ну разве что излишне лаконично).

[cyb12]

ewert, пытаюсь. Потому и спрашиваю, откуда берется подобие.

(Оффтоп)

у Вас какой-то стиль общения, как будто я ничего не делаю и жду халявного решения

[ewert]

(Оффтоп)

cyb12 в сообщении #468801 писал(а):

у Вас какой-то стиль общения, как будто я ничего не делаю и жду халявного решения

извините; наверное, нахал по природе

cyb12 в сообщении #468801 писал(а):

откуда берется подобие.

Ну а как без подобия-то?...

Идея состоит в том, что матрица заведомо диагонализуема (в комплексном пространстве, пусть сама по себе она и вещественна). И в том, что собственные её числа (комплексные, разумеется) нам заведомо известны. И вот когда мы её комплексно диагонализуем -- и объединим попарно подходящие собственные векторы -- и в каждой линейной оболочке каждой такой пары выберем вещественный базис -- вот тогда мы и придём как раз к описанному блочно-диагональному и вещественному виду исходной матрицы.

Это в одну сторону. Ну а в другую: что каждая такая блочно-диагональная матрица, подвергнутая какому угодно преобразованию подобия, даст в квадрате минус единичную -- это уж, я думаю, тривально.

[cyb12]

Теперь всё ясно
Спасибо