Найти коэффициент корреляции между суммами с.в.

[Souldrinker]

Задача:
Случайные величины

\[ X_1 ,X_2 , \ldots ,X_{m + n} \]

(n>m) независимы, одинаково распределены и имеют дисперсию

\[ \sigma _{}^2 \]

. Найти коэффициент корреляции между суммами:

\[ \begin{array}{l} S_1 = X_1 + X_2 + \ldots + X_{n} \\ S_2 = X_{m + 1} + X_{m + 2} + \ldots X_{m + n} \\ \end{array} \]

m=20
n=50

Ответ: либо 2/5, либо 3/5

У меня проблемы с нахождением ковариации, т.к. я не могу выразить её через дисперсию.

Заранее благодарен!

[Capella]

А не будет-ли она просто равняться 0?

Дело вот в чём, формула для корреляции

$$Korr(X,Y) = \frac {Kov(X,Y)} { \sqrt{Var(X) Var(Y)}}$$

, но у двух независимых величин ковариация всегда равна 0. Другое дело, я сейчас точно не могу сказать, что пройзойдёт, если рассмотреть суммы независимых.

[Souldrinker]

Об этом я подумал в первую очередь, но к сожалению

\[ S_1 \]

и

\[ S_1 \]

зависимы. В состав каждой из сумм входят

\[ X_{m + 1} ,X_{m + 2} , \ldots ,X_n \]

.

Преподаватель дал ответ, и намекает что решаеться всё через выражение ковариации через дисперсию. Т.е. ковариация равна

\[ 30\sigma _{}^2 \]

либо

\[ 20\sigma _{}^2 \]

[Capella]

Тогда для определения формулы для суммы воспользуйтесь (к примеру)

$$ (S_1,S_2) = Kov(X+Y,Z) = Kov(X,Z) + Kov(Y,Z)$$

Вам надо будет применить эту формулу для всей суммы.

Добавлено спустя 11 минут 58 секунд:

Souldrinker писал(а):

Преподаватель дал ответ, и намекает что решаеться всё через выражение ковариации через дисперсию. Т.е. ковариация равна

\[ 30\sigma _{}^2 \]

либо

\[ 20\sigma _{}^2 \]

Да, есть таоке отношение:

$$Var( \sum_i X_i) = \sum _{i,y} Kov(X_i,X_j)$$

Например можно разложить вот так:

$$Kov(aX + bY, cX + dY) = acVar(X) + bcKov(Y,X) + ad Kov(X,Y) + bd Var (y)$$

Дело в том, что

$$Kov(X,X) = Var(x) $$

Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды:

Я так мыслю, что Вам надо будет сделать по всей сумме.

[незваный гость]

Souldrinker писал(а):

Об этом я подумал в первую очередь, но к сожалению $\[ S_1 \]$ и$ \[ S_1 \]$ зависимы. В состав каждой из сумм входят $\[ X_{m + 1} ,X_{m + 2} , \ldots ,X_n \]$.

А Вы скобочки раскройте (воспользуйтесь дистрибутивным законом сложения). Причем для простоты (это верно при вычислении корреляции) можно считать, что все величины уже центрированы (т.е. ${\rm E} X_j = 0$).

[Souldrinker]

Сделал через свойство мат. ожидания

\[ M[X - m_X ] = 0 \]

Завтра покажу преподу, если интересно отчитаюсь о результатах.

[незваный гость]

Не хотите ответ сверить?

[Souldrinker]

Ответ как и должен быть, 3/5

[незваный гость]

Отлично! думаю, проблем не будет.