бесконечен ли ряд натуральных чисел?

[svb]

anik в сообщении #467922 писал(а):

Извините, тогда я могу задать такой вопрос: какое отношение имеет математика к изучению природы? Природа сама по себе, а математика – тоже сама по себе? Что же тогда изучает математика, образ мышления отдельных математиков? Откуда математика берёт понятия множества (чего?) и натуральных количеств (чего?)? Например, у мухи шесть ног, на руке у человека пять пальцев.
Объекты природы обладают различными свойствами, выделяя какое-либо значимое для нас свойство, мы тем самым задаём множество объектов природы, обладающих этим общим (характеристическим) свойством. Натуральные числа, как знаки-имена количеств объектов, тоже есть объекты природы, только искусственные, придуманные человеком.

Некоторые искренне считают, что математические объекты выдуманы человеком, но многие уверены в том, что эти объекты "существуют" вне человеческого сознания и математики только "открывают" их. Слова "бесконечность" и им подобные уже давно изгнаны из математики, т.к. они много вреда в свое время нанесли. Но за пределами математического формализма они существуют и простейшим примером "бесконечного" множества являются натуральные числа. Не нужно быть математиком, чтобы понять, что такое 5 пальцев и связать эту конструкцию с 5-ю огурцами. Это свойство нашего сознания "связывать", например, видеокартинку, поступающую в наш мозг с понятием "мама". "Связывание" или, по-другому, отображение одного "нечто" в другое "нечто" является, пожалуй, основой нашего (и не только нашего) сознания. Нужно подчеркнуть, что я сейчас использую "человеческий" язык, который шире формализованных языков. Желание избавиться от неточностей обыкновенного языка привело к "математике", которую часто тоже называют языком (Манин). Но не будем сейчас углубляться в формалистику, которая нам не потребуется. Остановимся на "очевидных" детских понятиях, к которым относится установление "взаимно-однозначного соответствия (отображения)" между 5-ю пальцами и 5-ю огурцами. Небольшое изменение этой ситуации позволяет отображать 5 пальцев в 5 пальцев и, если это отображение взаимно-однозначное, то на "выходе" останутся ВСЕ исходные пальцы. Но вот отображение $x \to x + 1$ резко отличается от описанной ситуации - на входе все пальцы, а на выходе одного пальца мы не досчитываемся. В некотором смысле это простейшая ситуация, если ее описать чуть подробнее, то получаются аксиомы Пеано. В обычном языке можно говорить о "бесконечности", но тащить подобные неточные понятия в математику не рекомендуется - она в них не нуждается.

[bnovikov]

Обращаю внимание участников дискуссии на давнюю заметку П.К.Рашевского "О догмате натурального ряда"

http://www.mathnet.ru/links/2ca270bd803 ... rm4944.pdf

Может быть, она придаст вашему спору более конструктивный характер.

[Hellko]

(Оффтоп)

Someone писал(а):

Вы можете предъявить железнодорожный состав, у которого нет определённого конца?

да. поезд соединенный своим концом со своим началом.
но с натуральными числами так не пойдет :)

[Лукомор]

Hellko в сообщении #468153 писал(а):

(Оффтоп)

Someone писал(а):
Вы можете предъявить железнодорожный состав, у которого нет определённого конца?
да. поезд соединенный своим концом со своим началом.
но с натуральными числами так не пойдет :)

(Оффтоп)

А что мешает?

[svb]

Еще одна полезная мысль:

Цитата:

Фауст:

Я богословьем овладел,
Над философией корпел,
Юриспруденцию долбил
И медицину изучил.
Однако я при этом всем
Был и остался дураком.
В магистрах, в докторах хожу
И за нос десять лет вожу
Учеников, как буквоед,
Толкуя так и сяк предмет.

[Kallikanzarid]

svb в сообщении #468146 писал(а):

Слова "бесконечность" и им подобные уже давно изгнаны из математики, т.к. они много вреда в свое время нанесли.

ЩИТО?

Цитата:

Небольшое изменение этой ситуации позволяет отображать 5 пальцев в 5 пальцев и, если это отображение взаимно-однозначное, то на "выходе" останутся ВСЕ исходные пальцы. Но вот отображение $x \to x + 1$ резко отличается от описанной ситуации - на входе все пальцы, а на выходе одного пальца мы не досчитываемся.

К чему вы клоните?

[EvilPhysicist]

Объясните мне кто-нибудь, о чём дисскуссия то?
Бесконечное ли число натуральных числе.
Да. По определению натуральных чисел. Более того, как уже отмечалось, есть алгоритм для того, чтобы этот ряд писать.
Если кто-нибудь "считает" иначе, то он либо не считает, либо не про натуральные числа.

anik в сообщении #467634 писал(а):

Понятие «бесконечность» употребляется здесь в разных смыслах.

А ещё есть разные бесконечности. Например множество всех подмножеств натуральных чисел "больше"(а правильно сказать по мощности превосходит) множество натуральных чисел.

[whitefox]

anik в сообщении #467922 писал(а):

Два высказывания: «не существует последнего натурального числа» и «ряд натуральных чисел бесконечен» сильно отличаются друг от друга. Вы этого не находите? Между ними логическая пропасть.

А Вы согласны с высказыванием "во всяком не пустом конечном множестве натуральных чисел имеется наибольшее число"?
Если согласны, то из него и Вашего первого высказывания следует второе.
А если не согласны, то как Вы определяете конечные множества натуральных чисел?

[anik]

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Два высказывания: «не существует последнего натурального числа» и «ряд натуральных чисел бесконечен» сильно отличаются друг от друга.

Не нахожу. Сформулируйте определения натурального ряда, конечного множества и бесконечного множества, тогда будет о чём говорить. А пока Вы рассуждаете на уровне филологии. Это к математике отношения не имеет.

Невозможно дать определения всем понятиям. В частности, невозможно дать определение «определению». Всякое определение (типа классического) содержит в себе первичные понятия, входящие в теорию без всяких определений. Можно понятия: «множество» и «элемент множества» принять в качестве первичных понятий, а можно дать этим понятиям определение, если ввести другие, так сказать, более первичные понятия.
Если первичные понятия сложны для понимания, допускают подразумения или двоякие толкования, то и теория получается соответствующей. По-видимому, первичные понятия должны поясняться на языке метатеории.
Откуда первичные понятия должны возникать, как не из реалий природы?
Определяемые понятия существенно зависят от принятых первичных понятий, так что я думаю, что мои определения будут расходиться с общепринятыми, но это не должно означать что я безграмотный

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Не фиксированный конец ряд натуральных чисел всегда имеет. Этот конец зависит от конкретного количества посчитанных предметов.

Натуральный ряд не имеет никакого отношения к пересчитыванию предметов. Если Вы будете нести здесь такую ахинею, Вас заблокируют за безграмотность.

Я не знаю какой «натуральный ряд» Вы имеете в виду. Я имею в виду ряд натуральных чисел, т.е. последовательность чисел: 1,2,3,4,5,6… и т.д. Уточню, это числа десятичной системы счисления. Надеюсь, что Вы не потребуете определений того, как образуются десятичные числа и что такое системы счисления.
Итак, эти числа, по Вашему мнению, не имеют отношения к счёту предметов?
Если Вы, сидя в кресле, ни с того ни с сего, начинаете говорить: раз, два, три, четыре… и т.д. без конца, то окружающие подумают, что у Вас крыша поехала. Если мимо Вас проезжает то же самый железнодорожный состав, и Вам нужно сосчитать вагоны, то, как Вы их будете считать? Что вы будете произносить мысленно или вслух, нести ахинею?

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Чтобы понять, что такое ряд натуральных чисел, нужно задуматься о процессе счёта предметов (объектов природы). Дело в том, что количество объектов природы (которые имеет смысл считать) задано самой природой как факт, независимо от того, посчитали мы эти объекты или нет.

Объекты природы не имеют никакого отношения ни к натуральным числам в частности, ни к математике вообще. Математика не занимается изучением объектов природы, этим занимаются физика, химия, биология, география и т.п..

Математика не должна ограничиваться только определениями, а кто задачи будет решать? Откуда берутся задачи: сетевого планирования, транспортная задача, задачи небесной механики, задача о раскраске карт и т.п. Они не имеют отношения к природе или к этим задачам математика не имеет никакого отношения? Множества не имеют отношения к природе?

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Речь шла о множестве вагонов в составе. Согласен с Вашим замечанием. Мне следовало спросить: если определённого конца количеству вагонов во множестве вагонов в составе вообще нет, то множество вагонов в составе бесконечно?

Вы можете предъявить железнодорожный состав, у которого нет определённого конца? Дайте посмотреть на такое чудо.

Вы можете предъявить ряд натуральных чисел, у которого нет определённого конца? Дайте посмотреть на такое чудо.

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Предъявите конкретный ряд натуральных чисел – посчитаем.

А самому слабо? Натуральный ряд - это множество всех натуральных чисел. По аксиоме объёмности, существует только один натуральный ряд.

Мне не слабо подсчитать количество чисел в конкретном натуральном ряду, если мне его предъявят. Это количество численно равно последнему натуральному числу в предъявленном ряду, так что и считать ничего не надо.

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Природа сама по себе, а математика – тоже сама по себе?

Совершенно верно.

Вот и плохо!

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Что же тогда изучает математика, образ мышления отдельных математиков?

Нет. Математика изучает логические конструкции.

Вот только логические конструкции чего? Непонятно.

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

В «обоснование» бесконечности ряда натуральных чисел приводят иногда следующее рассуждение: к имеющемуся натуральному числу мы всегда можем прибавить единицу, получив следующее натуральное число. Такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд натуральных чисел бесконечен. Ошибка заключается в выделенной курсивом части рассуждения.
Рассмотрим аналогичное рассуждение. Допустим, мы выкладываем кости домино в ряд, чтобы потом, толкнув первую «доминушку», повалить весь ряд. К имеющемуся уже ряду, мы всегда сможем добавить очередную кость, такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд костей домино бесконечен.

Нет, это некорректная аналогия. Натуральные числа соответствуют не костям домино, а (конечным) рядам этих костей: из одной кости, из двух костей, из трёх, четырёх и т.д.. Но аналогия всё равно хромая, потому что для рядов из костей домино существенны физические ограничения, а для натуральных чисел физических ограничений нет.

То, что для натуральных чисел физических ограничений нет – заблуждение.
«Тонкость» заключается в том, что имена-знаки чисел натурального количества материализованы в нашей памяти. Нам кажется, что очередное порядковое числительное, которое мы произносим, как бы невесомо и берётся ниоткуда, и в этом «ниоткуда» может находиться бесчисленное множество имён. Но, наша память не безгранична. Мы рассуждаем примерно так. Можно мысленно представить число, состоящее пусть даже из миллиарда цифр, или бесконечное количество треугольников, (Можно мысленно представить себе, что мы взлетели над землёй, как бы во сне, и смотрим сверху на копошащихся внизу людей). Но, одно дело наши мечты и фантазии и совсем другое – реальная действительность. Занимаясь построением теорий и моделей, имеющих практическую ценность и описывающих реальную природу, мы должны уметь отделять наши фантазии и желаемое от действительного и возможного.

-- Чт июл 14, 2011 21:23:08 --

svb в сообщении #468146 писал(а):

Некоторые искренне считают, что математические объекты выдуманы человеком, но многие уверены в том, что эти объекты "существуют" вне человеческого сознания и математики только "открывают" их.

Возможно и то, и другое. Есть математические объекты «выдуманные человеком», а есть математические объекты «открытые человеком». По поводу существования математических объектов вне человеческого сознания: многие думают, что мысли «витают в космосе» и оттуда изредка посещают нас. Это какой-то идеализм.
Законы природы невозможно придумать, их можно только открыть, в результате изучения свойств объектов природы, взаимосвязи между объектами природы, причинно-следственных связей явлений природы и т.п.

-- Чт июл 14, 2011 21:26:22 --

svb в сообщении #468146 писал(а):

Слова "бесконечность" и им подобные уже давно изгнаны из математики, т.к. они много вреда в свое время нанесли.

Как я безнадёжно отстал. Интересно, как сейчас излагается теория пределов? Как вычисляются несобственные интегралы? Как определяется понятие потенциала?
Или с бесконечностью в математике сейчас такая же ситуация, как с силами инерции в механике?

-- Чт июл 14, 2011 21:27:37 --

svb в сообщении #468146 писал(а):

Но вот отображение $x \to x + 1$ резко отличается от описанной ситуации - на входе все пальцы, а на выходе одного пальца мы не досчитываемся.

Я наверное туплю, но мне кажется, что на выходе мы имеем лишний палец.

-- Чт июл 14, 2011 21:32:32 --

Xaositect в сообщении #467955 писал(а):

Никто не говорит, что какое-то натуральное число бесконечно - бесконечна лишь вся их последовательность.

Не вижу особенной разницы. Количество натуральных чисел в последовательности численно равно последнему натуральному числу. Вы хотите сказать, что последнее натуральное число конечно, в то время как количество чисел (или рядов чисел) уже бесконечно? Даже если количество чисел в ряду стремится к бесконечности, то и количество букв в имени наибольшего числа (или количество цифр в изображении наибольшего числа) тоже стремиться к бесконечности.

-- Чт июл 14, 2011 21:35:46 --

bnovikov в сообщении #468150 писал(а):

Обращаю внимание участников дискуссии на давнюю заметку П.К.Рашевского "О догмате натурального ряда"

http://www.mathnet.ru/links/2ca270bd803 ... rm4944.pdf

Может быть, она придаст вашему спору более конструктивный характер.

Что-то я давлю на ссылку, а она не работает...

-- Чт июл 14, 2011 21:39:38 --

Лукомор в сообщении #468173 писал(а):

Hellko в сообщении #468153 писал(а):

(Оффтоп)

Someone писал(а):
Вы можете предъявить железнодорожный состав, у которого нет определённого конца?
да. поезд соединенный своим концом со своим началом.
но с натуральными числами так не пойдет :)

(Оффтоп)

А что мешает?

(Оффтоп)

Я видел как-то картинку со слоном, замкнутым самим на себя, Вы не это имеете в виду?

-- Чт июл 14, 2011 21:48:42 --

whitefox в сообщении #468340 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Два высказывания: «не существует последнего натурального числа» и «ряд натуральных чисел бесконечен» сильно отличаются друг от друга. Вы этого не находите? Между ними логическая пропасть.

А Вы согласны с высказыванием "во всяком не пустом конечном множестве натуральных чисел имеется наибольшее число"?
Если согласны, то из него и Вашего первого высказывания следует второе.
А если не согласны, то как Вы определяете конечные множества натуральных чисел?

Это не я говорю, что не существует последнего натурального числа, это математики так говорят. Я как раз утверждаю противоположное: последнее натуральное число всегда существует в конкретно заданной последовательности натуральных чисел.
А вот с высказыванием:"во всяком не пустом конечном множестве натуральных чисел имеется наибольшее число" я вполне согласен.

[Xaositect]

anik
То, о чем Вы говорите, называется ультрафинитизмом. Полное отрицание бесконечных множеств и бесконечных процессов. Тут есть ссылки на работы в этом направлении: http://mathoverflow.net/questions/44208 ... rafinitism

В класической же математике понятие бесконечного множество строго определено, и прежде чем обсуждать бесконечность множества всех натуральных чисел, нужно сначала понять, что в математике называется множеством всех натуральных чисел и что называется бесконечным множеством.

anik в сообщении #468372 писал(а):

Не вижу особенной разницы. Количество натуральных чисел в последовательности численно равно последнему натуральному числу. Вы хотите сказать, что последнее натуральное число конечно, в то время как количество чисел (или рядов чисел) уже бесконечно? Даже если количество чисел в ряду стремится к бесконечности, то и количество букв в имени наибольшего числа (или количество цифр в изображении наибольшего числа) тоже стремиться к бесконечности.

Я не хочу сказать, что последнее натуральное число конечно. Я хочу сказать, что его нет.

-- Чт июл 14, 2011 18:54:23 --

anik в сообщении #468372 писал(а):

А вот с высказыванием:"во всяком не пустом конечном множестве натуральных чисел имеется наибольшее число" я вполне согласен.

А с высказыванием "Для любого натурального числа $n$ существует натуральное число $m = n+1$, удовлетворяющее неравенству $m>n$"?

[anik]

Xaositect в сообщении #468394 писал(а):

Я не хочу сказать, что последнее натуральное число конечно. Я хочу сказать, что его нет.

Если Вы не имеете в виду конкретный ряд натуральных чисел, то я согласен с тем, что нет последнего натурального числа в неопределённом ряду вообще. Подобно тому как в составе вообще (каком-то абстрактном составе) нет последнего вагона.

-- Чт июл 14, 2011 22:32:00 --

Xaositect в сообщении #468394 писал(а):

А с высказыванием "Для любого натурального числа $n$ существует натуральное число $m = n+1$, удовлетворяющее неравенству $m>n$"?

С этим высказыванием я не согласен. Оно слишком категорично и, я бы сказал, безостановочно. Я согласен на такую редакцию: "Для любого натурального числа $n$ может существовать натуральное число $m = n+1$, удовлетворяющее неравенству $m>n$". И ещё нужно сформулировать требования: при каких условиях может существовать.
Если мы подобную программу введём в компьютер и запустим, то эта программа вылетит скорее всего по переполнению.

[whitefox]

anik в сообщении #468372 писал(а):

А вот с высказыванием:"во всяком не пустом конечном множестве натуральных чисел имеется наибольшее число" я вполне согласен.

А раз так, то используем это высказывание как большую посылку, высказывание «не существует последнего натурального числа» -- как малую посылку, и по правилам логики заключаем: «ряд натуральных чисел бесконечен».
Исходя из чего, тогда, Вы сделали вывод:

anik в сообщении #467922 писал(а):

Два высказывания: «не существует последнего натурального числа» и «ряд натуральных чисел бесконечен» сильно отличаются друг от друга. Вы этого не находите? Между ними логическая пропасть.

В чём именно Вы узрели логическую пропасть?

anik в сообщении #468372 писал(а):

Это не я говорю, что не существует последнего натурального числа, это математики так говорят. Я как раз утверждаю противоположное: последнее натуральное число всегда существует в конкретно заданной последовательности натуральных чисел.

anik в сообщении #467673 писал(а):

Я согласен с тем, что этот ряд не имеет фиксированного конца, но не согласен с тем, что количество натуральных чисел бесконечно большое.

А "фиксированный конец" и "последнее натуральное число" это разве не одно и тоже? Определитесь, пожалуйста.

[svb]

anik в сообщении #468372 писал(а):

Как я безнадёжно отстал. Интересно, как сейчас излагается теория пределов? Как вычисляются несобственные интегралы? Как определяется понятие потенциала?

Могу порекомендовать очень старенькую книгу на эту тему: Э.Ландау. Основы анализа. А то, что для красного словца употребляются слова типа "$n$ стремится к бесконечности", то при "строгом" изложении материала всегда определяют, что подобные слова обозначают. На мех-мате МГУ за подобные вольности языка раньше просто выгоняли с экзамена.

[whitefox]

anik в сообщении #468405 писал(а):

Если мы подобную программу введём в компьютер и запустим, то эта программа вылетит скорее всего по переполнению.

А Вы введите эту программу в машину Тьюринга. Переполнения точно не будет.

-- 14 июл 2011, 20:50 --

anik в сообщении #468405 писал(а):

"Для любого натурального числа $n$ может существовать натуральное число $m = n+1$, удовлетворяющее неравенству $m>n$".

Поясните, пожалуйста, всегда ли $n+1\geqslant n$ или возможно $n+1<n$?

[svb]

Порылся у себя в библиотеке - очень интересный взгляд на математику и реальность:Манин Ю.И. Математика как метафора