Пример из Винберга

[Quant]

Цитата из Винберга (2011, гл.8 параграф 2, пример 2):

Цитата:

Свертка линейного оператора (как тензора типа $(1,1)$)-это его след. Действительно, в силу линейности достаточно проверить это утверждение для тензоров вида $x \otimes \alpha (x \in V, \alpha \in V ^*) $. Оператор такого вида равен нулю на $(n-1)$-мерном подпространстве $ \operatorname{Ker} \alpha$ и действует как умножение на $\alpha (x)$ на факторпространстве $V/ \operatorname{Ker} \alpha$. Следовательно, его след равен $\alpha (x)$, что совпадает со сверткой.

Мне не очень понятно, как автор учебника посчитал след оператора без его матрицы. Кто-нибудь может объяснить?

P.S. С помощью матрицы оператора я смог посчитать след. Действительно, получается $\alpha (x)$.

[bnovikov]

Quant в сообщении #467220 писал(а):

Оператор такого вида равен нулю на $(n-1)$-мерном подпространстве $ \operatorname{Ker} \alpha$ и действует как умножение на $\alpha (x)$ на факторпространстве $V/ \operatorname{Ker} \alpha$

В этом предложении и описана матрица оператора.

[alcoholist]

Нет под рукой Винберга (и нет возможности скачать и посмотреть), но формально имелось ввиду следующее: свертка $(1,1)$-тензора (элемента $V\oplus V^*$) -- это след матрицы соответствующего оператора (элемента ${\rm End}V$ при каноническом изоморфизме $V\oplus V^*\to {\rm End}V$).

[Quant]

bnovikov в сообщении #467301 писал(а):

Quant в сообщении #467220 писал(а):

Оператор такого вида равен нулю на $(n-1)$-мерном подпространстве $ \operatorname{Ker} \alpha$ и действует как умножение на $\alpha (x)$ на факторпространстве $V/ \operatorname{Ker} \alpha$

В этом предложении и описана матрица оператора.

Можете пожалуйста поподробнее объяснить? Я честно говоря не очень понял.

[bnovikov]

Quant в сообщении #467379 писал(а):

Можете, пожалуйста, поподробнее объяснить? Я, честно говоря, не очень понял.

Пусть $e_2,\ldots,e_n$ - базис подпространства
$\operatorname{Ker}\alpha$,
$e_1,\ldots,e_n$ - базис всего пространства $V$. Тогда цитата в моем прошлом письме означает, что матрица имеет вид

$$ \left( \begin{array}{cccc}  \alpha(x) &  0 & \ldots & 0  \\  0 & 0 & \ldots & 0 \\  \ldots & \ldots  & \ldots  & \ldots  \\  0 & 0 & \ldots & 0 \\ \end{array} \right) $$

[Quant]

Тогда получается, что оператор имеет вид $A(y)=\alpha (x)y$. Верно ли я понял?

[bnovikov]

Извините, я напутал. Матрица имеет вид

$$ \left( \begin{array}{cccc}  \alpha(e_1) &  0 & \ldots & 0  \\  0 & 0 & \ldots & 0 \\  \ldots & \ldots  & \ldots  & \ldots  \\  0 & 0 & \ldots & 0 \\ \end{array} \right) $$

[Quant]

Все равно, оператор какой получается? $A(y)=\alpha(y) x$?

[bnovikov]

Нет.

$$A(y)=A(y_1e_1+\ldots+y_ne_n)=y_1A(e_1)=y_1\alpha(e_1)$$

[Quant]

Тода у Вас получается, что оператор действует из векторного пространства $V$ в поле $\mathbb{K}$, а он должен действовать из $V$ в $V$.

[bnovikov]

Снова поспешил, виноват. Вот так Вас устроит:

$$A(y)=A(y_1e_1+\ldots+y_ne_n)=y_1A(e_1)=y_1 \alpha(e_1)e_1 ?$$

[Quant]

А вот снова не совсем понял. У нас же оператор является тензорным произведением вектора $x$ и оператора $\alpha$. А у Вас получается, что оператор $A$ от этого вектора никак не зависит. Или я что-то не так понимаю)

[alcoholist]

Да, $Ay=\alpha(y)x$

[bnovikov]

Как говорится, спасибо за вопрос, заодно и сам разобрался.

Оператор $A=x\otimes \alpha$ действует так: $A(y)=\alpha(y)x$, т.е. переводит все пространство в прямую, порожденную вектором $x$. Положим $e_1=x$, а остальные $e_2,\ldots,e_n$ возьмем из $\operatorname{Ker}\alpha$. Тогда $A(e_1)=\alpha(e_1)e_1$, $A(e_i)=0\ (i>1)$. Отсюда след равен $\alpha(e_1)=\alpha(x)$.

[Quant]

Все понятно, спасибо!)