Сложные плоские волны

[eugrita]

Существуют ли (как в теории, так и на практике) сложные плоские волны,
не совпадающие ни с плоскими, ни цилиндрическими, ни сферическими с
волновые поверхности и фронтом отличным даже от эллипсоида?
Как их моделировать на компьютере?
Ну можно например использовать немонохроматические синусоидальные волны с несколькими некратными частотами. Есть ли такие волны и где на практике?
Вообще классическое понятие волны - это решение волнового уравнения, согласно методу Даламбера - суперпозиция 2 волн.
Могут ли быть расширения математического понятия волны?

[rotozeev]

Это получается должен быть случай, когда не работает преобразование Фурье.

[Munin]

eugrita в сообщении #465619 писал(а):

Существуют ли (как в теории, так и на практике)... не совпадающие ни с плоскими, ни цилиндрическими, ни сферическими с волновые поверхности и фронтом отличным даже от эллипсоида?

Бросьте плоскую волну на какой-нибудь гиперболический параболоид, и смотрите, что отразится.

eugrita в сообщении #465619 писал(а):

Вообще классическое понятие волны - это решение волнового уравнения, согласно методу Даламбера - суперпозиция 2 волн.

Это только в одномерном случае. В 2- и более-мерном, суперпозиция бесконечного числа волн, идущих в произвольных направлениях. Кроме того, это в отсутствие дисперсии, а если дисперсия есть, то даже и одномерный случай выглядит не так.

eugrita в сообщении #465619 писал(а):

Могут ли быть расширения математического понятия волны?

Незачем, того, что есть, и так достаточно.

-- 06.07.2011 11:31:49 --

rotozeev в сообщении #465679 писал(а):

Это получается должен быть случай, когда не работает преобразование Фурье.

Преобразование Фурье работает всегда, зато не всегда даёт, чего хочется (упрощения задачи) :-) Зато в заковыристых случаях, бывает, можно найти другие преобразования, делающие эту работу.

[eugrita]

Попытаюсь немного развить исходный тезис:
Почему понятие волна связывают только с решением волнового уравнения?
Только потому что колебания струны, продольные и поперечные колебания, акустика - подчиняются волновому уравнению? А в электромагнетизме эл-магн волна уравнению Гельмгольца как разновидности или обобщению того же волнового уравнения?
Чтобы повысить общность физики ввели понятие дисперсии волн.
Посмотрим, что будет если практически любую гладкую функцию времени и координаты u(x,t),являющуюся решением некоего ДУРЧП объявить "волной".
Какие понятия, характеризующие волны останутся?
Волновой фронт -как зависимость y=f(x,t)|t=const - да
Ну не будет единой фазовой скорости - но ее нет и при рассмотрении дисперсии
Понятие "длина волны" но его нет и при не монохроматических волнах
Если u(x,t) при t \in [t_1,t_2] имеет форму конечного импульса: u(x,t)=0 при x \notin [x_n(t),x_k(t)]
то что мешает отслеживать скажем такой параметр, как скорость сдвига максимума волны - в какой-то степени аналог фазовой скорости?
Временная и пространственная периодичность? ну это четко выполнено не для всех волн. Наверное можно притянуть аналоги этих свойств за счет сужения класса функций u(x,t) но при этом обойдясь без волнового уравнения...
И вообще, какие свойства волны важнее - временные (форма) или спектральные?

[Munin]

eugrita в сообщении #465786 писал(а):

Почему понятие волна связывают только с решением волнового уравнения?

Потому что решение волнового уравнения - это настолько общее понятие, что на всех хватает.

eugrita в сообщении #465786 писал(а):

Чтобы повысить общность физики ввели понятие дисперсии волн.

Никто ничего не повышал. Её просто взяли и нашли в природе, и описали математически.

eugrita в сообщении #465786 писал(а):

то что мешает отслеживать скажем такой параметр, как скорость сдвига максимума волны - в какой-то степени аналог фазовой скорости?

Почитайте, что такое групповая скорость. Кроме того, иногда прямо так и используют скорость максимума - когда сама форма волнового пакета претерпевает деформацию. Чтобы совсем уж ошалеть от всемогущества науки, заглядите в солитоны, от КдФ до кинков хотя бы.

eugrita в сообщении #465786 писал(а):

Временная и пространственная периодичность? ну это четко выполнено не для всех волн.

Это один из первых признаков волны, от обязательности которых отказались.

eugrita в сообщении #465786 писал(а):

И вообще, какие свойства волны важнее - временные (форма) или спектральные?

И то и другое, и можно без хлеба.

Ещё пара примеров: стоячая волна в резонаторе, неподвижная волна (когда фазовая скорость равнв нулю) - пример: ленгмюровские волны в плазме.

Короче, вы всего лишь констатируете, что в физике понятие волны гораздо шире, чем в быту. Рад, что вас это впечатлило. Но вообще говоря, это не новость.

[eugrita]

Munin писал(а):

Потому что решение волнового уравнения - это настолько общее понятие, что на всех хватает.

А что уже в физике не осталось процессов описываемых иными чем волновое уравнениями и для характеристики которых желательно использовать термин "волна" ??
Про солитоны со временем почитаю. Не хочу разбрасываться

[Munin]

eugrita в сообщении #465869 писал(а):

А что уже в физике не осталось процессов описываемых иными чем волновое уравнениями и для характеристики которых желательно использовать термин "волна" ??

Ну практически не осталось.

Даже если мы не знаем уравнений, мы, видя какую-то волну, подозреваем, что она именно таким уравнением (или системой) и описывается.

Вы меня натолкнули на мысль, я что-то плохо помню, что там с ударными волнами...

-- 07.07.2011 01:20:22 --

Ну, пожалуй, ударные волны действительно отдельный случай, или по крайней мере требуют отдельного оговаривания, в каком смысле там что понимается.

[eugrita]

Ув. Munin. Ценю ваш опыт и эрудицию.
К сожалению убедительно не мог отстоять свою точку зрения.
Подвожу некоторые итоги.
1. физики (с ваших же слов)в понятии волны исходят из известных им физических волновых процессов,скажем акустические волны, колебания тел, эл-магнитные. Да они все подчиняются волновому уравнению или его аналогу.
2. Математик же хочет получить наиболее общую абстракцию понятия волна. Почему собственно ее связывать с волновым уравнением? То что физики не знают других примеров волн звучит неубедительно.
Для математика важно сохранение всех или большинства свойств связанных с волной.В математике функций гораздо больше чем применяемых в мат.физике.
3. Возможно в будущем будут открыты какие-то другие уравнения каких-то процессов. Тогда может и будут говорить о "волнах" другого типа ?
К поднятому вопросу вернусь позже после доп.изучения

[Munin]

eugrita в сообщении #466266 писал(а):

К сожалению убедительно не мог отстоять свою точку зрения.

А в чём она состоит-то? Вы, вроде, пока только вопросы задавали...

eugrita в сообщении #466266 писал(а):

Математик же хочет получить наиболее общую абстракцию понятия волна.

Нет. Математик этого не хочет. Ему незачем. В его мире нет волн - они есть только в реальной природе, которую изучают физики. И они приходят к математику, и клянчат с него уравнения.

Впрочем, есть некоторая математическая абстракция, более общая, чем рассматриваемые уравнения. Это - симметрии этих уравнений. Собственно, решение вида бегущей волны симметрично относительно преобразования $(x,t)\to(x+c\,\delta t,t+\delta t),$ а волновое уравнение всего лишь допускает симметричные решения такого вида. Для этого соответствующей симметрией должен обладать дифференциальный оператор этого уравнения. Далее можно отвлечься от конкретной природы уравнения (что оно дифференциальное и т. п.), и рассмотреть просто математические объекты с такой симметрией, которые могут играть роли уравнений и решений. Видимо, это будет наиболее общее представление о волнах.

eugrita в сообщении #466266 писал(а):

Для математика важно сохранение всех или большинства свойств связанных с волной.

Как раз наоборот, математика интересует большая общность, и поэтому - сохранение абсолютного минимума свойств, необходимого, чтобы это ещё называть волной.

eugrita в сообщении #466266 писал(а):

Возможно в будущем будут открыты какие-то другие уравнения каких-то процессов. Тогда может и будут говорить о "волнах" другого типа ?

Нет, скорее всего, они не будут называться волнами.